螺線（らせん）の長さ（ピッチ）と半径の関係式について

質問

螺線の方向をｚ軸、半径方向をｘ、ｙ軸として一定長の螺線をｚ軸方向に引っ張って伸ばした場合、半径（ｒ）は、短くなり、反対にピッチｌ（エル）は長くなります。この半径とピッチの関係式について教えてください。
　なお、ピッチｌとは螺線がｘ－ｙ平面で見たとき、１回転するときのｚ軸方向の距離です。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

この条件だけでは決まりません。ここで言う「螺線」とは平面図形の螺旋(spiral)ではなく、つるまきばねの形(helix)のようです。　　(1)半径rの筒に巻き付いていて、筒の軸にそって一周ごとにlだけ進むねじになっています。半径r、全長Lの円筒にN回巻き付いているこのようなバネを一本持って来ると、ばねを構成している長さはD=sqrt{(2πrN)＾2 + L＾2}で、つる自体は伸び縮みしないものとすればDは不変です。ここでピッチlはl=L/Nですね。　　(2)さて、バネを引っ張って延ばすやりかたは一通りではない。２つの自由度があるんです。　(a) 頭としっぽをつまんで、これを長さLは同じのまま、頭だけをz軸の周りでねじることができる。こうすると当然半径r、ピッチlも変わります。もともとN回巻き付いていたのが、N’回になったとすると、D=sqrt{(2πrN)＾2 + L＾2}=sqrt{(2πr’N’)＾2 + L＾2}という関係式を満たすようにrがr’に変化します。そして今度のピッチl’はl’=L/N’ですね。　(b)次に巻き付き回数を維持したまま、ぐいと引っ張って、全長をL’に変化させることができる。するとD=sqrt{(2πrN)＾2 + L＾2}=sqrt{(2πr’N’)＾2 + L＾2}=sqrt{(2πr”N’)＾2 + L’＾2}という関係式を満たすように、半径がr”に変化する。今度のピッチl”はl”=L’/N’になります。
(3) 実際の鋼鉄製のバネでも、端が自由に回転するようになっている（Nを変えられる）場合と、Nが不変の場合とでは振る舞いが違います。前者の場合、バネを作っている針金に掛かる曲げと捻れ（バネの巻き付きではありません）のエネルギーの和が最小になるように落ち着きます。「でも後者なら、半径は一意的に決められる」と思ったら大間違いで、バネの半径が何処でも同じ、というのはエネルギー的に最小ではない。むしろこっちの方が解析が難しいです。ここから先は機械工学の教科書を見た方が良いでしょう。

お礼

stomachmanさん
お礼が大変遅くなり申し訳ありませんでした。いろいろ忙しくて検討する時間がなく失礼しました。
　さて、stomachmanさんのご回答は、大変わかりやすく理解することが出来ました。ありがとうございました。螺線ということでむずかしく考えてしまいましたが、stomachmanさんの言われるとおり、展開すれば、簡単なピタゴラスの定理になるのですね。もちろん、捻れとか、回転を与えれば複雑な解析が必要になると思われますが、今回は、単純な１次解が欲しかったものですから、これで十分です。本当にありがとうございました。
　では、今後ともよろしくお願いいたします。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　tn238

回答No.1

vmlinuz

角度を t とすれば、 dx/dt = cos t, dy/dt = sin t, dz/dt = t l / 2π です。これを基にして螺旋の長さ L を計算すると

L = ∫√{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 + (dz/dt)^2} dt

です (積分範囲は 0 から 2π)。これを計算すると

L = 4π(r^2 + l t / 2π)^(3/2) / 3l

のようになるでしょう。(計算あってるか???)

お礼

vmlinuzさん
　お礼が大変遅くなり申し訳ありませんでした。いろいろ忙しくて検討する時間がなく失礼しました。
　ご回答ありがとうございました。
さて、ご回答についてですが、次の点がよく理解出来ませんでした。
３次元空間での原点からの角度をｔとすれば、dtも３次元なので
　　dx/dt=cosｔ
というように単純には表現できないのではないかと思います。dtのx-y平面への投影長をdt'として
　　dx/dt'=cos(π/2－ｔ)
としなければならないのではないか、したがって、dtとdt'の関係も規定しないといけないと思われますので、ちょっと複雑になると思います。
　小生の間違いかも知れませんので、また、ご教示いただければ幸いです。
　では、今後ともよろしくお願い申し上げます。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　tn238