不定積分の問題です

質問

∫du/{u√(c-2u)} = (1/√c)log[{√c-√(c-2u)}/{√c+√(c-2u)}]　というものなんですが経過がわかりません。すみませんがどなたか教えていただけませんでしょうか。お願いします。

回答No.2

repobi · ベストアンサー

√(c-2u) = t とでも置きます。
両辺2乗でc-2u = t^2 ⇒ u = (c-t^2)/2
また、du = -tdt となります。

よって、（与式）＝-2∫dt/(c-t^2) となります。
ここで、部分分数に分けます。
1/(c-2u) = (1/2√c)[1/(√c +t) +1/(√c -t)]

∴(与式)＝(1/√c)∫[(√c -t)'/(√c -t) - (√c +t)'/(√c +t)]
　　　　＝(1/√c)log[{√c-t}/{√c+t)}]

これでtを元に戻して完成と言うのはいかがでしょうか？

お礼

なるほど！ありがとうございます。助かりましたｍ(_ _)ｍ

回答No.1

migoreng

u = 1/2 * c sin^2 θ ... (1)
(ただし ^2 は自乗の記号です)
と変数変換してください。なぜこう変換するかというと、(5)の形に持っていくためです。さらに、
v = √(c - 2 u) ... (2)
とおき、(1)式を利用すると、
v = √c * cos θ ... (3)
と書くことができます。
ここで、(1)より
du = c sinθ cosθ dθ ... (4)
となりますから、問題の左辺は、
∫du/{u√(c-2u)} = ∫du/(u v) ... (5)
と書くことができます。これに、(1),(3),(4)を代入して整理すると、
∫du/(u v) = 2/√c * ∫dθ/sinθ ...(6)
と書くことができます。
1/sinθの積分なので、これは次のようになります。
= 2/√c * ( -log(cos(θ/2)) + log(sin(θ/2)) )
= 2/√c * ( log(sin(θ/2) / cos(θ/2)) ) ... (7)
ところで、(1)より、
cosθ=√(1 - 2 u / c) ...(8)
です。(7)で半角公式
cos(θ/2) = √((1 + cosθ)/2) ...(9)
sin(θ/2) = √((1 - cosθ)/2) ...(10)
を用いれば、(7)は、質問にお書きになった右辺のように変形できませんでしょうか。

お礼

お返事くださりありがとうございましたｍ(_ _)ｍ