線形代数の固有ベクトルについて

質問

[0 2 1 ] [x1] [0]
[0 5 2 ] [x2] = [0]
[0 -1 2] [x3] [0]

としたときの固有ベクトルは行列の基本変形によっては
[1] [0]
[0] [0]
[0] [1] となるのですが、λが違うそれぞれの固有ベクトルが線形独立であればどちらでもいいのでしょうか。
たとえば
[0 2 1 ] をそのまま変形した場合と
[0 5 2 ]
[0 -1 2]

列の交換を施して
[ 1 2 0 ]
[ 2 5 0 ]
[ 2 -1 0 ] とした場合ではどちらが正しいのでしょうか。それともどちらとも正しいのでしょうか。

回答No.2

Tacosan

固有ベクトルを求めるというのは本質的に連立 1次方程式を解くことに相当するんだけど, 係数行列の列を入れ替えたら変数の順序が変わります. そこが理解できてればいい.
でランクを計算するというのは固有ベクトルを求めることとは異なる操作なので, ランクを計算するときに適用できた操作であっても固有ベクトルを求めるときに当然に使えるわけではありません.

お礼

ありがとうございました。
固有ベクトルを求めるときはランクを計算するときとは違い異なる操作をするんですね。その辺があいまいだったのでたすかりました。

回答No.1

Tacosan

列を交換したら別の行列になっちゃうんだけど, そのことは気付いてる?

補足

なんとなくそんな感じなのはわかっていたのですが、この場合、列ベクトル同士は交換しないでランクを計算し、固有ベクトルを掛けて計算しなくてはいけないのですか？
連立一次方程式を計算するときの注意点としては列の交換はしてはいけないのでしょうか。また、行の交換はしてもよさそうなのですが、その辺がちょっとわからないのですが。よろしくおねがいします。