個数の処理で・・・。

質問

「１２人の生徒を４人ずつ３つの組に分ける。何通りあるか？」
という問いの解法で、
分け方の総数は、12C4・8C4・4C4（通り）
ここまではいいのですが、解答には、3！でさらに割っています。
なぜ、3！で割るのですか？教えてください。

回答No.1

kexe · ベストアンサー

＞分け方の総数は、12C4・8C4・4C4（通り）

これなんですが
”３つの組”に関しては全く考えていないですね
正確にはＡＢＣの３つの組にわけるというふうに考えています。

例えばＡＢＣという３組にわける場合と組を気にしない場合では
どう違うのでしょう

仮に３つの球を１つずつ３組に分ける場合
ＡＢＣという３つの組に分けるのであればどうなるでしょう？（３！ですね）
一方、組を気にしない場合には組み合わせは一通りですよね

上の答えではすでに順に３つを掛け合わせていますから
ＡＢＣの組に分けてしまっているわけです。
つまりあるパターンにおいて最後にのこった４つをとる組と
違うパターンで最初に１２個から同じ４個をとった組とを同じと見るか
違うと見るかそこの違いです。

理解できましたでしょうか？

回答No.3

newtype

１２人の生徒を４人単位で３つの部屋Ａ，Ｂ，Ｃに分ける組み合わせは、
12C4・8C4・4C4（通り）＝（１）とし、

１２人の生徒を３つの部屋に分ける組み合わせ＝（２）とする。

さて問題は部屋に区別がない。
（１）は（２）が決まった後、一つの組をどの部屋にするかで３通り、残りのもう一方をどの部屋にするかで２通り、最後の組は選択の余地なく１通り。という組み合わせを考えているのはわかるだろうか。

つまり、積の法則から、
｛（２）の組み合わせの個数｝＊３！＝（１）の組み合わせの個数
よって、
（２）の組み合わせの個数＝｛（１）の組み合わせの個数｝／３！

＜考察＞
特になし。和、積の法則が理解できていればこんなの簡単でしょう？
以上

回答No.2

good777

kexe氏の説明でよいと思います。ここでは、問題にできるだけ即して考えてみます。
まず、12人の生徒A　B　C　D　E　F　G　H　I　J　K　Lから4人を選ぶのは12C4です。
どの4人を選んでも残りは8人ですよね。仮にABCDを選んだとします。（ABCD）とかいておきましょう。
次に残りの8人E　F　G　H　I　J　K　Lから4人を選ぶのは8C4です。
どの4人を選んでも残りは4人ですよね。仮にEFGHを選んだとします。（EFGH）とかいておきましょう。
さらに残りの4人H　I　J　Kから、4人を選ぶのは　4C4＝1(通り)　です。

ところで、このわけ方を（ABCD）（EFGH）（IJKL）と書き表すことにしましょう。
ところが、
（ABCD）（EFGH）（IJKL）,
（ABCD）（IJKL）（EFGH）,
（EFGH）（ABCD）（IJKL）,
（EFGH）（IJKL）（ABCD）,
（IJKL）（ABCD）（EFGH）,
（IJKL）（EFGH）（ABCD）
はすべて,3組に分けたということでは同じ分け方になるのです。
分け方の総数、12C4・8C4・4C4（通り）
の中には、同じ分け方は、3！ずつ重複するのです。
で、3!で割るのです。

(注意)個数が違う場合に注意!!
同じようでも、「12人を5人4人3人の3組に分けなさい。」というときには
12C5・7C4・3C3(通り）
であり、3！で割りません。重複しないからです。念のため。