大学数学、線形代数です

質問

問3と問5について、
解答例と解法を教えてください。

回答No.2

info33

問3
0≦θ≦π/2より 0≦cosθ≦1 ... (*1)
2直線を媒介変数表示に直すと
(x-3)/2=-y+4=z-2=s → (x,y,z)=(2s+3,-s+4,s+2)
(x-3)/2=(y+1)/2=(z+3)/3=t → (x,y,z)=(2t+3,2t-1,3t-3)
2直線の方向ベクトルを求めると
(2,-1,1)s, (2,2,3)t
単位方向ベクトルに直すと
s=1/√(2^2+(-1)^2+1^2)=1/√6 → (2,-1,1)/√6
t=1/√(2^2+2^2+3^2)=1/√17 → (2,2,3)/√17
cosθ=(2,-1,1)/√6・(2,2,3)/√17=(2*2-1*2+1*3)/√(6*17)=5/√102
(*1)を満たす。
(答え). (5/102)√102

問5
X=(x,y)=[x;y]
P=[cos/3, -sin/3;sin/3,cos/3]=[1/2,-√3/2;√3/2,1/2]=(1/2)[1,-√3;√3,1]
q=(-1,2)=[-1;2]
PX+q=(1/2)[1,-√3;√3,1]+[-1;2]
(答え). P=[1/2,-√3/2;√3/2,1/2], q=[-1;2]

回答No.1

kiha181-tubasa

問３は，空間ベクトルの問題ですね。

(x-3)/2=-y+4=z-2=t とおくと
x=2t+3, y=-t+4, z=t+2
これから，この直線の方向ベクトル →u は
→u=(2,-1,1)
である。

同様にして直線
(x-3)/2=(y+1)/2=(z+3)/3
の方向ベクトル →v は
→v=(2,2,3)
である。

ここで,2つのベクトルの大きさと内積は次のとおり
|→u|=√6,|→v|=√17
(→u)・(→v)=5

２直線のなす角θは，２つの方向ベクトルのなす角だから
cosθ=(→u)・(→v)/|→u||→v|=5/√6√17=5/√102

問４は，一次変換の問題です。
行列をテキストで表すことが困難なので，数字だけ並べます。

原点周りに(π/3)回転する一次変換を表す行列は
cos(π/3) -sin(π/3) = 1/2 -√3/2
sin(π/3) cos(π/3) √3/2 1/2
です。
また，平行移動については
-1
2
を加えるだけです。これから写像は
1/2 -√3/2 x + -1
√3/2 1/2 y 2
となります。つまり
P= 1/2 -√3/2
√3/2 1/2
q= -1
2