数列（ε－δ）

質問

次の問題がなかなか解けません。

x_n→a , y_n→b のとき

(1/n)[(x_1)(y_n)+(x_2)(y_n-1)+…+(x_n)(y_1)→ab

を証明せよ。
いろいろやってみたのですが、積の形になっている分、どうしても最後に
ε*（nに関係ある数）になってしまい、ε*定数の形がなかなか導き出せません。
どなたか教えていただけませんか？
よろしくお願いします。

なお、この問題は、
田島一郎『イプシロン-デルタ』（共立出版）の章末練習問題です

回答No.1

ringohatimitu · ベストアンサー

ｎ≧Mであるすべてのｎに対して|x_n-a|,|y_n-b|<εとします。このときｎを十分大きくしておき（たとえば２Mより大きくしておきます）最初からM項と最後からM項を取り除いた和を考えます。このときn-M>Mなのでその和の各項はすべて(a-ε)(b-ε)と(a+ε)(b+ε)の間にあります。項数はn-2MでMは固定してあるのでその和をｎで割ったときのｎ→∞での極限値は再び(a-ε)(b-ε)と(a+ε)(b+ε)の間にあります。あとはεの任意性から命題が従います。

お礼

ありがとうございます。
何とか証明することができました。

＞最初からM項と最後からM項を取り除いた和を考えます。

このことには気づきませんでした。
最初のM項だけ取り除いていたからうまくできなかったみたいです。
大変勉強になりました。