数列？

質問

x_(n+1)+x_(n-1)=α*(x_n) (nは自然数)　としたときに数列{x_n}が周期的になる場合のαをすべて求めよという問題で、解説にわからない点が２つあったのでその質問です。
まずαが２のとき周期的ではないのでα≠2とあるのですが、すべてが定数の場合は周期的ではないのですか？　まあ周期的って感じはしませんが、周期的ということばがx_n=x(n+p)をみたす０以上のpガ存在ということだったら周期的ってことになるんじゃないかなって。　まあ多分この前提が間違っているのだと思いますが。
またαが２じゃない場合として、x^2-αx+1=0が二つの解r,r^(-1)をもつとなっているのですが、
これは
x_(n+1)+x_(n-1)=α*x_n
<=>
(x_(n+1)/x_n)+(x_(n-1)/x_n)=α
An=(x_n/x_(n+1))
として
A_(n+1)+(1/A_(n-1))=α
(A_(n+1))(A_(n-1))-(A_(n-1))α+1=0
のことかと思ったんですけど、若干ちがうみたいで。。。
というかそもそもxというのはこの場合x_nのxとは関係がないのでしょうか？

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

「任意の x_0, x_1 に対して」周期的かどうかということだと, α=2 はダメでしょ?

他の質問でもいわれていたはずだけど, 任意の等差数列 {x_n} に対して
x_(n+1) + x_(n-1) = 2 x_n
だよね.

お礼

確かに２だとだめですね。。。なぜか２だと全部定数なきがしてました＞＜　お騒がせしましたー＞＜

回答No.2

Tacosan

正確な問題はどうなっているのですか?

「任意の x_0, x_1 に対して周期的」なのか「適切に x_0, x_1 を選べば周期的」なのかは重要だと思いますが.

最後のところは「関係ない」です.

お礼

もとの問題は
x_(n+1)+x_(n-1)=α*(x_n) (nは自然数) という性質をみたす数列が周期的になるようなαをもとめよということなので、任意のx_0、x_1に対して周期的ということだと思います。

回答No.1

cockpit

割り込み失礼します。有界について。回答直前に締め切られたので…

例えばy=1/x(0<x<1)…(1)について(グラフとともに考えて下さい)
x=1/100のときy=100
m=101とすれば|y|<m
ところがxとしていくらでも0に近い値を考えればそのときyはいくらでも大きな値になる。いくらでも大きくなれるyに対し|y|<m
となる数字mは決められない(存在しない)。だから(1)は有界でない。

y=x^2(0<x<∞)
などもxをいくらでも大きくすればyがいくらでも大きな値をとるから有界でない。

y=x^2(0<x<5…(2))
とすれば
m=30にすれば(2)のどんなxをとってきても|y|<30が
成り立ち、有界である。

意味的には関数がそのグラフのどこかでyが無限大にいってるかどうかです。

お礼

なるほど　無限大ってことでみればいいんですね