ハウスドルフ収束

質問

「曲線の列がある曲線にハウスドルフ収束しても、
その長さが収束するとは限らない。その例を与えよ」
という問題を考えています。

閉集合の列{E_k}k=０,∞が集合Eにハウスドルフ収束するとは、
１.Eの各点に、ある点列{z_k∈E_k}が収束し、
2.各E_kから１点を選んでできる点列の集積点は常にEに属する
ことをいう。
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自分でも少し考えました。
三角形を半分の高さで折り返した図は、
元の三角形と同じ長さになる。
またその半分で折り返した図も長さが同じ。
繰り返すと、他の２辺が、
底辺の長さになるので例は満たされるのですが、
説明がうまくできません。お願いします。

回答No.1

ringohatimitu · ベストアンサー

上手な例ですね。確かめなければならないのはハウスドルフ収束の条件１，２ですね。底辺の任意の点をとったときその点を通る垂線上に収束列をとることができるので条件１は満たされています。さらに各E_kから１点ずつとったとき、それらの点の底辺からの高さが０に収束することからその点列の集積点は底辺上になければなりません。したがって条件２も満たされています。

お礼

参考になりました。ポイントにてお礼の気持ちとしますね。