ペアノ曲線はフラクタルか？

質問

「フラクタル」 石村貞夫・園子 著を読み，フラクタルの勉強をしていて，ペアノ曲線に至りました．
連続な曲線でありながら，平面（正方形）を充填することが出来る．はたしてペアノ曲線は何次元なのか？
そこから厳密な次元の定義に移るのですが，ペアノ曲線の位相次元（dimT(K)）が「２」になることは分かったのですが，ハウスドルフ次元(dimH(K))がいくつになるのかが分かりません．
ペアノ曲線はフラクタルなのですが？
識者の方，お教えください．

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

> ペアノ曲線はフラクタルなのですが？
あ，これは【が】じゃなくて【か】で，
ペアノ曲線はフラクタルなのかどうか，ということでしたか．
Mell-Lily さんのご回答見ていて気づきました．
そういえば，表題も「ペアノ曲線はフラクタルか？」となっていましたね．

さて，フラクタルの厳密な数学的定義はよく知らないのですが
(厳密な定義がない？ それも変ですかね？)，
自己相似性や，至る所微分不可能であることからして，
ペアノ曲線はフラクタルの範疇に入るでしょう．
ハウスドルフ次元が非整数であることをもってフラクタルとすると，
ペアノ曲線がフラクタルからはみだしちゃいます．
どこかで，こういう注意を読んだか聞いたかした記憶があります．

回答No.2

Mell-Lily

よく分かりませんが、ペアノ曲線の位相次元は「2」で、ハウスドルフ次元も「2」のようです。フラクタルは、
　位相次元 < ハウスドルフ次元
で定義されます。ペアノ曲線は、この定義からはフラクタルから外れますが、フラクタルな性質は持っているので、普通、フラクタルに加えるということです。

お礼

ご回答，ありがとうございます．
位相次元 < ハウスドルフ次元 だけがフラクタルの定義ではないというのが，全ての問題の原因だと気がつきました．
フラクタルの歴史を踏まえて，もう一度テキストを読み返すことにします．
どうもありがとうございました．

回答No.1

siegmund

ペアノ曲線のタイプはいくつかある(描き方がいくつかあると言うべき？)ようですが，
実際やってみればわかりますように，ハウスドルフ次元は２です．

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(図描くの疲れた～)

スケールを３倍にする毎に曲線の長さは９(=3^2)倍になっていますので
ハウスドルフ次元は２です．
正方形を埋め尽くすことからも２でないと具合が悪いでしょう．
コの字の方法などでやってスケールを２倍ずつして行きすと，
長さは，3( = 2^2 - 1), 15(= 4^2 - 1),...
となったりしますが，極限値でハウスドルフ次元を定義すればやはり２ですね．

お礼

図まで描いていただき，ありがとうございます（お疲れ様です・・＾＾；）．
曲線の長さから簡単にハウスドルフ次元が出せるとは知りませんでした．
ハウスドルフ次元が １．２６ であるコッホ曲線は，２次元よりは１次元に近いんだなという感覚を持つことは正しかったようです．
ペアノ曲線のハウスドルフ次元 ２ は理解できました．
どうもありがとうございました．