訂正 行列の収束

質問

M(n,R)をn次実正方行列全体の集合、A,B∈M(n,R)に

ノルムを

||Ａ|| = √tr(tＡＡ)

ρ（Ａ,Ｂ) = ||Ａ-Ｂ||

と定義する。ただし

tＡ はＡの転置行列、　trＡ はＡのトレース

このとき、M(n,R)の有界列{Ａk}と、Ｘ∈M(n,R)に対して冪級数を

　Ｓm = Σ_{k=1}^{m} (1/k!)ＡkＸ^k∈M(n,R)

とおくと、{Ｓm}はρに関してあるＳ∈M(n,R)に収束することを示せという問題です。

私なり
Σ_{k=1}^{m} (1/k!)Ｘ^k

は expＸ　であるから有界列{Ａk}の収束性を考えればよいと思ったのですが。

不等式　||ＡＢ||≦||Ａ|| ||Ｂ||

を使えば示せるらしいのですがうまくいきません。

どなたかお暇であればお教えいただけないでしょうか。よろしくお願いいたします。

回答No.1

ringohatimitu · ベストアンサー

この空間(M(n,R),p)は有限次元ノルム空間でしたがってバナッハ空間になるので絶対収束すればその級数は収束します。（あるいは部分和がコーシー列になっているので実数の完備性よりその部分和はある行列に収束しています）。絶対収束することはA_kの有界性によってS_mのノルムがe^cp(X) (cはA_kのノルムの上限)でおさえられることから分かります。

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.3

keyguy

ケアレスミス修正

∥A[k]∥<Aなれば
∥Σ(0≦k<∞)・A[k]・X^k/k!∥
≦Σ(0≦k<∞)・∥A[k]・X^k/k!∥
≦Σ(0≦k<∞)・∥A[k]∥・∥X^k/k!∥
≦A・Σ(0≦k<∞)・∥X^k/k!∥
≦A・Σ(0≦k<∞)・∥X∥^k/k!=A・exp(∥X∥)

お礼

前へ出してしまえばいいんですね、ありがとうございました。

回答No.2

keyguy

∥A[k]∥<Aなれば
∥Σ(0≦k<∞)・A[k]・X^k/k!∥
≦Σ(0≦k<∞)・∥A[k]・X^k/k!∥
≦Σ(0≦k<∞)・∥A[k]∥・∥X^k/k!∥
≦A・Σ(0≦k<∞)・∥X^k/k!∥
＝A・Σ(0≦k<∞)・∥X∥^k/k!=A・exp(∥X∥)