点と曲線の距離と悪魔の階段

質問

質問は２つあります。
1つめは、点と直線の距離は分かるのですが、点と曲線の距離はどうすれば求められるのか。
簡単な例も添えて頂けるとありがたいです。
２つめは、カントールの悪魔の階段についてです。
この関数によって分けられる上半分の平面と下半分の平面は開集合なのかどうかです。

以上、ご解答をよろしくお願いいたします。

回答No.1

rabbit_cat

「点Ｐと曲線の距離」は、普通は、
「曲線上の点と点Ｐとの距離の最小値」と、定義するんでしょう。
最小値が存在しない場合に、「曲線上の点と点Ｐとの距離の下限(inf)」を、「点Ｐと曲線の距離」とするかどうかは、場合によるような気がします。

２番目の質問はちょっと考えてみたけど、すぐに即答できないです。
当然ながら、悪魔の階段という境界線自体をちょっとでも含んでいる側の平面は、明らかに開集合ではないです。
で、問題は、悪魔の階段自身を、まったく含まない側ですが、多分、開集合なのでは、と思うのですが、ちょっと自信がないです。
カントール集合自体は閉集合なんで、その補集合（悪魔の階段のplateauに相当する部分）は開集合なんで、多分、それで分けた平面も開集合になるような気がするのですが。。

お礼

回答ありがとうございます。
２つめについてなのですが、すみません、私の書き方が悪かったです。上下平面共に悪魔の階段は含まない平面です。（別に問題点に影響するわけでもありませんが。）
１つめの答えが分かれば、２つめも分かるんじゃないかと思っていました。しかし、悪魔の階段の場合、値が最小になるかどうかの判断が私にはできませんでした。
グラフと円を描けば何となく開集合っぽい気はするのですが、数学的にとなると、私には難しいです。

谷口雅彦先生の「フラクタル曲線についての解析学」という本を読んでいるのですが、開集合であるとは書いてあるのですが、証明がのっていませんでした。