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一点ｘ＝ａと［ａ，ａ］は区間なの
でしょうか？（ａは実数） ［ａ，ａ］は区間と呼ばないのでしょうか？
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岩波の数学辞典第三版では、a<bに対して閉区間、[a,b]とは、開区間(a,b)とは云々と書いています。明示的ではないですが、開、閉、右開、左開をあわせて区間(より広く無限区間も含めていうこともある)と呼んでいるわけですから、一点は区間ではないということでしょうか。 ただ数学の議論、たとえば閉区間[a,b]上の云々という議論をする場合において、[a,a]={a}とみて議論を行うことは何の矛盾も起こさないので、別に閉区間とみなすことに問題はないとは思います。しかし直感的には区間とは呼び難い、ということなのでしょう。普通、区間には測度(ルベーグ測度)が乗っていて、長さが正であると考えるのが自然でしょうから。 一般論を展開するという意味では、たとえば(a,b]のような集合を、{x∈R|x>a∧x≦b}によって定義すると思えば、別にa>bでさえあっても差し支えはないです。そういうわけで、そのように定義している(a<bの仮定を設けない)書物もあるようです。ただこの場合、空集合は開区間、閉区間、右半開区間、右半閉区間のいずれでもあることになり、ちょっと気持ち悪いですから、空集合はあまり区間とは思いたくない面もあります。そうすると(a,a)のような空集合は区間とはみなしたくない。その観点からは[a,a]も閉区間とみなさないほうが自然です。 個人的には、(a,a)は区間とは呼べないから、[a,a]だけを区間と呼ぶというのは差別的に感じます。だから一点は区間でない、と思うほうが自然には感じます。
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- yumisamisiidesu
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一般論では、Ｒの連結部分集合を区間と定義することになると思います ［a,a］＝｛ａ｝≠ａなので、そういううるさいことを言うと一点は区間でいけど一点だけを要素とする集合は区間
お礼
ありがとうございます 一般的に認められているかどうかはともかく 筋からいけばＯＫですね
- tomtom_
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回答ではなく私見なのですが．．． 区間演算という手法で議論を展開する場合に[a,a]という区間を必要とすることがあります． だから一点も区間にいれてほしいなーという気がします．
お礼
ありがとうございます 私もそうしてほしいものだと思います
お礼
ありがとうございます 区間とするには但し書きが必要ということですね