x^x=a

質問

x^x=a(x>0,a>0,aは実数)とした時、このｘについての方程式って解けるのでしょうか？ふと思いついて調べてみたのですが、いまいちわからず質問させていただきました。

回答No.4

ramayana · ベストアンサー

最終的には級数展開なり挟み撃ちなりによって解を近似計算することになります（手っ取り早いのはExcelのソルバを使うこと）。ただ、解の個数や存在範囲を整理しておいた方が、見通しが良いでしょう。

f(x) = log(x^x) = xlog(x)とすれば、f(x)は、次のような形状になります（J字型）。

lim[x→+0]f(x) = 0
0< x≦1/eで単調減少
f(1/e) = -1/e
1/e < xで単調増加
f(1) = 0

したがって、f(x) = log(a)の解（x^x = aの解）は、次のようになります。

log(a) < -1/eのときは、解なし

log(a) = -1/eのときは、ただ１つの解（重根）があり、x = 1/e

-1/e < log(a) < 0のときは、2つの解があり、一方は0 < x < 1/e で、他方は1/e < x < 1

0 ≦ log(a)のときは、ただ１つの解があり、1 ≦ x

回答No.3

asuncion

＞公式名だけでも書き残していただければ幸いです

私も見たことはありません。
あちらの質問の回答者さんがご存じだと思います。

お礼

回答ありがとうございます。わかりました。又チェックしてみます。

回答No.2

Knotopolog

この類の式を解くのに，紙とエンピツの時代は，もう終わりました．

現在では，コンピュータを使った数式処理・数値解析・数値計算の時代です．

下の Wolfram|Alpha

Wolfram|Alpha Computational Knowledge Engine
http://www.wolframalpha.com/

を起動して，

x^x=a

と入力し，〓 をクリックすると，ランベルトのＷ関数を使って，

x＝(log(a))/W(log(a))

と言う解が得られます．試してみて下さい．

因みに，ランベルトのＷ関数は，

ランベルトのＷ関数（wikipedia）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AEW%E9%96%A2%E6%95%B0

を参考にして下さい．また，下に貼り付けたサイトも，ご参考にして下さい．

the product log function
http://mathworld.wolfram.com/ProductLogFunction.html

http://www.mente.elac.org/faculty/deutschl/125_note_index/ch12/12_4.pdf

以上です．

お礼

回答ありがとうございます。コンピュータでやるのですね

回答No.1

asuncion

両辺の自然対数をとると、参考URLに載っている問題と本質的に同じになります。
そこに寄せられている回答によれば、教科書に公式が載っているとのことですので、
その公式に当てはめれば解けるのでありましょう。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q7473141.html

お礼

回答ありがとうございます。確かに1000かaかの違いだけですね。　ただ公式というのがみたことがないのですが、、、
公式名だけでも書き残していただければ幸いです