条件があるときの式の値の問題でわからないものがあす。教えていただきたいです。

質問

xyz=1　なら　(2x/wy+x+1)+(2y/yz+y+1)+(2z/zx+z+1)　の値は？
という問題で、一応チャレンジしてみたのですが先がわかりません。

ちなみに私は
(2x/wy+x+1)+(2y/yz+y+1)+(2z/zx+z+1)
の分母を因数分解し、
={2x/x(y+1)+1}+{2y/y(z+1)+1}+{2z/z(x+1)+1}
とやったのですが続きがわからないんです。
初めも間違っているような気がするので、ぜひ教えていただきたいです。

回答No.4

staratras · ベストアンサー

No.2です。文字が入った分数式の計算は煩雑になりがちなので、わかりにくければ、分子・分母を別々に計算するなど、慣れるまではパートごとに考えることをお奨めします。

与式の第2項の分母=y・(1/xy）+y+1=1/x+y+1=（1+xy+x)/x
与式の第2項=分子/分母=2y/（（1+xy+x)/x)=2y・x/（1+xy+x)=2xy/(xy+x+1)

与式の第3項の分子=2・(1/xy)=2/xy
与式の第3項の分母=(１/xy)・x+1/xy+1=(1/y)+(1/xy)+1=(x+1+xy)/xy
与式の第3項=（2/xy）/（(x+1+xy)/xy)=（2/xy)・xy/（x+1+xy)=2/（xy+x+1)

質問者様の計算は例えば第2項では
=2y/(1/x)+y+1　
=2y{x+(1/y)+1}　この部分が変です。
分数の計算では（分子/分母）の値は分子×(分母全体の逆数）となりますが、質問者様は分子×（分母の一部の逆数の和）で計算しています。
例えば2/（3+5)=2×（1/8）は正しいですが、
2/（3+5)≠2×（(1/3)+（1/5））です。

お礼

丁寧な説明のおかげできちんと最後まで解くことができました。
根本的な考え方が間違っていたようですね、きっちり復習して完璧にしたいと思います。
ありがとうございました。

補足

とてもわかりやすく説明していただきありがとうございます。
少し気になる点があったのですが、
与式の第2項の分母=y・(1/xy）+y+1=1/x+y+1=（1+xy+x)/xとは
y・(1/xy)+y+1=(1/x)+y+1 そして結果的に(1+xy+x)/x
ということでいいのでしょうか？
２つ目に出てきたものに()がなかったので一応確認させていただきました。
とてもわかりやすかったです。

回答No.5

noname#59797

2x/(xy+x+1)=2zx/(xyz+zx+z)=2zx/(zx+z+1)
2y/(yz+y+1)=2xy/(xyz+xy+x)=2xy/(xy+x+1)
=2xyz/(xyz+zx+z)=2/(zx+z+1)

∴　{2x/(xy+x+1)}+{2y/(yz+y+1)}+{2z/(zx+z+1)}
=2(zx+z+1)/(zx+z+1)=2

回答No.3

okada2728

もしこの問題が、途中の計算過程が必要ない問題（穴埋め問題など）であれば、xyz=1を満たす適当なx,y,z（たとえばx=y=z=1）を使って代入して答えを出すのも1つの方法です。

回答No.2

staratras

巧妙なやり方ではないかも知れませんが、xyz=1からz=1/xy　（xy≠０）を代入してとりあえずｚを消去します。

与式の第１項=2x/(xy+x+1) そのまま　（wはxの転写ミスでしょう）
　同　第2項=2y/(y・(1/xy)+ｙ+1）=2xy/（xy+ｘ+1）
　同　第3項=（2・1/xy）/（(1/xy)・x+（1/xy）+1）=2/（xy+x+1）

よって与式=（2x+2xy+2）/（xy+ｘ+1）=2（xy+x+1）/（xy+x+1）=2

この種類の問題では、ほとんどの場合式の値が簡単な整数か分数になるので、「必ず割り切れるはず」と信じて計算すればたいていうまくいきます。

補足

ありがとうございます。
一度やってみたのですが、
第2項にz=1/xyを代入すると
2y/(y・(1/xy)+ｙ+1)
=2y/(1/x)+y+1
=2y{x+(1/y)+1}
=2xy+2+2y
になってしまいます。
どうしたら2xy/（xy+ｘ+1）になるのでしょうか？
第3項も同様に2/（xy+x+1）にはならず、
(2・1/xy)/{(1/xy)・x+(1/xy)+1}
=2/xy・(y+xy+1)
=(2/x)+2+(2/xy)　または通分して(2y+2xy+2)/xy
になってしまいます。

回答No.1

jesalice

(2x/wy+x+1)+(2y/yz+y+1)+(2z/zx+z+1)
は
(2x/xy+x+1)+(2y/yz+y+1)+(2z/zx+z+1)
の書き間違いですか？wがxな気がしますのでその前提でヒント。
xyz=1の形で代入しようとすると少し大変です。
視点を変えてxyz=1をxy=1/z,yz=1/x,zx=1/yとしてみればどうでしょうか。(xyz=1なのでx,y,z≠0です)
2つの変数を1つの変数にすることができます。