方程式の解

質問

3^x+4^y=5^z x,y,zは自然数のとき、解は(x,y,z)=(2,2,2)のみであることを示せ。

方針としてつぎのように考えました。x,y,zが偶数なら解が(2,2,2)のみであることが、示せそうなのですが、xとzは偶数は示せたのですが、yはうまくいきません。解法の方向性はいいのか。あまり、よい解法でないのか。まったく間違っているのか。
　よいアドバイスをお願いします。

回答No.1

Ginzang · ベストアンサー

遅くなったが、回答したい。
とは言え、難問である。類題を早稲田大の入試問題に見かけたこともあるが、親切な誘導がありずっと易しいものであった（逆に言えば、この問題は難関大入試より大変と言うことだ）。
ざっと示すので、分からないところはまた質問して欲しい。

xとzが偶数であることが分かったところから始める（君がどのように示したのかは知らないが、私は私で、剰余系を用いることで示せた）。
x'=x/2、z'=z/2とおく。
3^2x'+2^2y=5^2z'より、2^2y=5^2z'-3^2x'。
よって、2^2y=(5^z'+3^x')(5^z'-3^x')。
これから2^(2y-u)=5^z'+3^x'、2^u=5^z'-3^x'となるような自然数u（ただし0<u<y）が存在することが分かる。
さて、この2式を辺々引くと、2^(2y-u)-2^u=2*3^x'。
よって、3^x'=2^(u-1)*(2^2(y-u)-1)。
ここから、2と3が互いに素であることよりu=1が分かり、3^x'=2^2(y-1)-1、よって3^x'=(2^(y-1)+1)(2^(y-1)-1)。
これから3^(x'-v)=2^(y-1)+1、3^v=2^(y-1)-1となるような自然数v（ただし0<v<x'/2）が存在することが分かる。
この2式を辺々引き、3^(x'-v)-3^v=2。
よって、2=3^v*(3^(x'-2v)-1)。
ここから3^v=1、3^(x'-2v)-1=2が分かり、よってv=0、x'=1（つまりx=2）。
3^v=2^(y-1)-1にvを代入し、y=2。
3^x+4^y=5^zにxとyを代入し、z=2。

お礼

x'=x/2,とか、2^u=5^z'-3^x'　など文字で置き換えて考えていくことが
考えを進めていく上ですっきりして、参考になります。
互いに素であるところがポイントだったのかと流れをみて思いました。
返事が遅くなり、すみませんでした。ありがとうございました。