ラプラス逆変換

質問

L^-1=[1/((s+1)(s+2)(s^2+1))]を求めよという問題なんですが、
部分分数分解をすれば解けるんでしょうか？
その場合s^2+1の項が定まりません・・・。
どのように解けばいいのでしょうか？

ちなみに解答は
1/2e^(-t)-1/5e^(-2t)+1/10sint-3/10cost　です。
よろしくお願いします。

回答No.1

leige · ベストアンサー

この場合、2次式を(s^2+1)分母にして
部分分数にするなら、その分子を1次式として
1/((s+1)(s+2)(s^2+1))=A/(s+1)+B/(s+2)+(Cs+d)/(s^2+1)
とおいて考えるといいとおもいます。

そうすれば、両辺に(s+1)(s+2)(s^2+1)をかけて
A(s+2)(s^2+1)+B(s+1)(s^2+1)+(Cs+d)(s+1)(s+2)=1
これを展開すると(a+b+c)s^3+(2a+b+3c+d)s^2+(a+b+2c+3d)s+2a+b+2d=-1
よって
a+b+c=0、2a+b+3c+d=0、a+b+2c+3d=0、2a+b+2d=1
3,4番目の式から2番目の式の3,2倍をそれぞれ引く
a+b+c=0、2a+b+3c+d=0、-5a-2b-7c=0、-2a-b-6c=1
3,4番目の式に1番目の式の7,6倍をそれぞれ加える
a+b+c=0、2a+b+3c+d=0、2a+5b=0、4a+5b=1
これより
a,b,c,dをともとめらることができます。

回答No.2

mmky

参考に
f(s)=[1/((s+1)(s+2)(s^2+1))]　の関数は極＝poleが4個ありますね。
s=-1, -2, +j, -j　ですね。
f(s)=k1/(s+1) + K2/(s+2) + K3/(s-j) + K4/(s+j)
係数は極の周りでそれぞれ求めればよいだけですね。
例えば、
k1=lim[s→-1](s+1)f(s)=lim[s→-1][1/(s+2)(s^2+1)]
=1/2
k3=lim[s→+j](s-j)f(s)=lim[s→+j][1/((s+1)(s+2)(s+j)]=[1/((1+j)(2+j)(2j)]
などのようにすれば簡単ですね。