ラプラス変換の問題です

質問

y´´+2y´+2y=r(t)　r(t)=5u(t-2π)sint y(0)=1 y´(0)=0
解答：y=e＾-t(cost+sint)+［-2cost+sint+e＾(-t-2π)(2cost+sint)］u(t-2π)

最初の項のe＾-t(cost+sint)は自分で出せたんですが残りがどうしても合いません
自分の解答としてはまずr(t)=5u(t-2π)sint=5u(t-2π)sin(t-2π)として
後はH(s)=1/(s＾2+2s+2)×（5e＾-2π/s＾2+1)として後はたたみ込みをするんですが
どうしても5が残ってしまいます

最初のところが間違っていますか？
また分かる方できるだけ計算過程を詳しく書いていただけるとありがたいです

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>最初の項のh1(t)=(e＾(-t))(cos(t)+sin(t))は自分で出せたんですが

結果は合っていますが、途中計算が書いてないのでそれについてはコメント出来ません。

>後はH(s)=(1/(s＾2+2s+2))×（5e＾(-2π))/(s＾2+1)として後はたたみ込みをするんですが

H(s)の遅延演算子「e＾(-2π)」は間違いで、正しくは「e＾(-2πs)」です。

>どうしても5が残ってしまいます

途中計算が書いてないのでチェックできませんが、計算間違いでしょう。

H(s)から遅延演算子を除いて
H(s)=H2(s)e＾(-2πs)
H2(s)=5/((s＾2+2s+2)(s＾2+1))
このH2(s)の逆Laplace変換h2(t)を求めれば
H(s)の逆Laplace変換h(t)はh2(t)に遅延演算子「e＾(-2πs)」の逆変換を畳み込んで
h(t)=h2(t-2π)u(t-2π)
と得られます。

H2(s)を部分分数展開して
H2(s)=(2s+3)/(s^2+2s+2)+(1-2s)/(s^2+1)
=2(s+1)/((s+1)^2+1) +2(s+1)/((s+1)^2+1) +1/(s^2+1) -2s/(s^2+1)
Laplace変換公式（変換表）とs+1はsに置換してe^(-t)を括りだすことにより
h2(t)=2(e^(-t)){cos(t)+sin(t)}+cos(t)-2sin(t)
∴h(t)=h2(t-2π)u(t-2π)=[2(e^(2π-t)){cos(t)+sin(t)}+cos(t)-2sin(t)]u(t-2π)

最終的なLaplace逆変換y(t)は
y(t)=h1(t)+h(t)
=(e＾(-t))(cos(t)+sin(t))+[2(e^(2π-t)){cos(t)+sin(t)}+cos(t)-2sin(t)]u(t-2π)

お礼

途中の式を丁寧に書いていただきありがとうございました
書いていただいた式を参考にしてもう一度自分で考えてみます