逆ラプラス変換の問題

質問

F(s)=3s/{(s^2+1)(s^2+4)}
上記の逆ラプラス変換を求める問題なのですが、まず最初に
(As+B)/(s^2+1)+(Cs+D)(s^2+4)
このように部分分数に分解して考えてみたんですけどA～Dを求められなくて行き詰ってしまいました。部分分数にして考えること自体間違っているのでしょうか？どなたか解き方のヒントをください。お願いします。

回答No.1

Umada · ベストアンサー

逆ラプラス変換というよりは、部分分数展開が問題の本質ですね。

部分分数展開することは正しいです。
いまf(x)とg(x)がxの整式でg(x)の次数がf(x)より高い場合、f(x)/g(x)は常に
b_1/(x+a_1) + b_2/(x+a_2) + b_3/(x+a_3) +...+ (e_1 x+f_1)/(x^2+c_1 x+d_1) + (e_2 x+f_2)/(x^2+c_2 x+d_2) +...
の形に部分部数展開ができることが知られています(*1)。どの項も逆ラプラス変換は可能(というよりラプラス変換表を見るだけ)ですから、部分分数展開で解に辿り着けることが分かります。

(As+B)/(s^2+1)+(Cs+D)/(s^2+4)
と置くのも正しいやり方です。
[(As+B)(s^2+4)+(Cs+D)(s^2+1)]/(s^2+1)(s^2+4)
として元のF(s)と係数を見比べると
A+C=0
B+D=0
4A+C=3
4B+D=0
なので、
A=1, C= -1
B=0, D=0
でよく、結局F(s)は
s/(s^2+1)-s/(s^2+4)
と分解できることが分かります。
ご自身でも検算してみてください。

*1 形としてここに持ち込めることは知られていますが、g(x)の因数分解ができないことに起因して式を具体的に書き下せないことはあり得ます。

お礼

改めて計算してみたら解くことができました。ありがとうございました。

回答No.2

Rossana

http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1062019
でやったのと同様です．
この場合は
lim[s→±i]{(s^2+1)F(s)}
lim[s→±2i]{(s^2+4)F(s)}
を使えばよいのです．考えてみて下さい．

参考URL：

http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1062019

お礼

何とか答えまでたどり着くことができました。ありがとうございました。