一定の幅のブリキ板で樋を作る問題

質問

高校の数学の問題で、一定の幅のブリキ板をある幅で折り曲げて長方形の樋（とい）を作る。水が溜まる断面積が最大になるにはどこで曲げれば良いかという問題がありました。答えは幅がaの時に、a/4での幅でした。
　そこで思ったのですが、もし長方形でなくて、台形でも良ければ最大はどこで、どの角度の時でしょう。
　さらに、どんな曲面でも良いとしたら、断面積が最大になるのは、断面積がどういう形になるときでしょうか。
　ふと思った疑問です。

回答No.3

shkwta · ベストアンサー

台形の場合ですが、底面の幅a/3, 上部開口面の幅 2a/3, 高さ(√3)/6 が断面積最大です。
（つまり、正六角形の半分というわけです。）

以下の導出は高校生には難しいです。簡単な方法を思いついた方はぜひお願いします。
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長方形ABCD(ABが底)で、AB上に点S,Tをとり、AS=x,ST=y,TB=z,BC=u とする。
このとき、DS+ST+TC=1 という条件のもとで、台形DSTCの面積が極値になる条件を求める。

p = DS+ST+TC-1 = √(x^2+u^2) + y + √(x^2+u^2) - 1
q = u (y + x/2 + z/2)

とおいて、拘束条件 p = 0 の下で q　を極値にするには、変数rを追加した関数

f(x,y,z,u,r) = q - r p

を極値にすればよい。

∂f/∂x = u/2 - rx/√(x^2+u^2) = 0
∂f/∂y = u - r = 0
∂f/∂z = u/2 - rz/√(z^2+u^2) = 0
∂f/∂u = y + x/2 + z/2 - ru/√(x^2+u^2) - ru/√(z^2+u^2) = 0
∂f/∂r = 1 - √(x^2+u^2) - y - √(x^2+u^2) = 0

この連立方程式を解いて、

x=1/6, y=1/3, z=1/6, u=(√3)/6, r=(√3)/6

回答No.5

higenotojo

樋は上が開いていますが、同じ形の樋をひっくり返してつなぐと、筒ができます。
「樋の断面積の２倍が筒の断面積、樋の断面の長さの２倍が筒の断面の周囲の長さ」なので、「一定の幅のブリキ板で水が溜まる断面積が最大となる樋を作る」ことは、「その２倍の幅のブリキ板で断面積が最大の筒を作る」ことと同じです。

樋が台形の場合：
筒の断面は６角形になる。
断面積最大となるのは凸６角形の場合である。
６角形の連続した３頂点Ａ，Ｂ，Ｃを考える。
３角形ＡＢＣの面積が最大となるのは、ＡＣを底辺とした場合に高さＢＸ（Ｘは直線ＡＣ上の点）が最大となる場合で、その時線分ＡＢの長さと線分ＢＣの長さが等しくなる。
他の連続した３頂点でも同様に考えると、周の長さが一定の６角形で面積が最大となるのは正６角形の場合となる。
樋が台形の場合は「正６角形を中心を通る対角線で切った台形」が最も断面積が大きくなる。

樋の断面がどんな形状でも良い場合：
周の長さが一定で面積が最大の図形は円。
よって、樋の場合は「半円」が最も断面積が大きくなる。

回答No.4

shkwta

No.3です。aが抜けていました。
高さ(√3)/6 →　高さ(√3)a/6

回答No.2

at9_am

台形でも良ければ、とのことですが、長方形になるとき最大になります。

樋の壁の部分の長さを１、底をａ、底と壁のなす角をθとします。ただし 0<=θ<=90 です。するとこの樋の断面積は (2a+cos(θ))sin(θ) となることが分かります。この関数はθについての単調増加関数であることが分かりますから、θ=90 となることが分かります。
したがって、長方形の時に断面積は最大になります。

どのような曲面でも良いとしたら、多分半円になると思います。
周の長さを一定にして面積を最大にする図形は円です。証明も計算もしていませんが、樋の場合、上が開いていますから、その部分の長さを最大にしたときが最も大きくなるはずだからです。

お礼

ありがとうございます。そうでしょうか？　長方形の樋の壁を、ほんのちょっと広げたとすると、それによって低くなる水面の高さに比べて、ひろげたことによって大きくなる幅の方が大きくて、断面積（容積）は大きくなると感じました。
　また周が一定なのではなくて、上辺以外の3辺の和が一定です。曲線の場合も、周が一定ではなくて弧が一定の場合はどうでしょうか。

回答No.1

springside

台形の場合、「断面の各辺間の角度をどうするか」という変数が増えるので、一つには決まらないような気がします。

また、どんな曲面でもよい、ということであれば、「断面が半円になる場合」が最大だと思います。（証明したわけではないので、推測ですが）