数I 二次関数の文章題

質問

周囲の長さが4aの長方形のうち、面積が最大なものは、どのような長方形か。ただし、aは定数とする。

という問題です。
面積が最大となるのはa×aの正方形だというのは分かったのですが、そこからどのように答えを導くのかがわかりません。
どなたか回答お願いします；；

回答No.3

info22

まず一辺aの正方形ABCDを描く。
その正方形の縦の長さAB=CDをｂだけ減らし、横の長さをbだけ加えた長方形A'BC'D'を描いてください。
ここで、A'B＝C'D'=AB-ｂ=CD-b
BC'=A'D'=BC+b=AC+b
です。
新たにできた長方形A'BC'D'の正方形ABCDの外に出ている長方形の面積と
長方形A'BC'D'の外にある正方形ABCDの長方形部分の面積を比較してください。両方の長方形部分の幅はbで長方形の長さが片方はa、もう一方はa-bになっています。正方形の面積の減った部分より、長方形の増えた部分の面積の方が少ないですね。
つまり長方形の２辺の和2aをa+aに分けた長方形（つまり正方形）と(a-b)+(a+b)の２辺に分けた長方形ではbを大きくするほど面積は小さくなっていくことが分かりますね。

以上は小学生でも分かる図形による証明として使えます。

２次関数なら
面積y=(a-x)(a+x)=a^2-x^2　（0≦x≦a）の最大値を求める問題です。
グラフを描けば明らかですね。
x=0で最大になりますね。

回答No.2

koko_u_

>面積が最大となるのはa×aの正方形だというのは分かったのですが、
>そこからどのように答えを導くのかがわかりません。
私にはあなたの言ってることがわかりません。

回答No.1

kaaaiii

縦と横の合計の長さは2aですね。（縦、横、ともに２つあるので）
だから縦をxとすると、横は2a-xです
つまり面積は、x(2a-x)=2ax-x^2=-(x-a)^2+a^2
よって-(x-a)^2が一番小さい時に面積は最大となるので、x=aで、面積はa^2です