指数？対数？2500乗？

質問

５^2500を８で割った時の余りっていくつですか？数学のどの範囲かはわからないのですが、数３Cではありません。途中式も欲しいです。

回答No.1

sunasearch · ベストアンサー

８で割って５余る数は、8n+5と表せます。

これを５倍すると、
5(8n+5) =4*8n+25 =4*8n+8*3+1 =8m+1となり、
８で割ると１余ることがわかります。

8m+1を５倍すると、
5(8m+1) =5*8m+5 となり、
８で割ると５余ることがわかります。

つまり、５の奇数乗は８で割ると、５余り、
偶数乗で割ると１余るので、

5^2500は８で割ると１余ります。

お礼

これを書き込んだそのあとに気付きました。ありがとうございました。

回答No.5

noname#14584

5^2=25=8*3+1
となります．
ここで，
(8m+1)*(8n+1)=8(8mn+(m+n))+1
ですから，
5^2500=(5^2)^1250なので，
8で割った余りは1です．

合同式というものを使うとこのような問題は比較的すっきりと解けます．この問題の時には，
5^2500≡(5^2)^1250≡25^1250≡1^1250≡1 (mod 8)
となります．

下には，合同式に関するページへのリンクを載せておきました．宜しかったらどうぞ．

参考URL：

www2.ocn.ne.jp/~atel.a/emath/mod.html,http://www2.cc.niigata-u.ac.jp/~takeuchi/tbasic/BackGround/Cong.html

お礼

これを書き込んだそのあとに気付きました。ありがとうございました。合同式はまだやったこと無いのですが、興味深いです。

回答No.4

rindaryu

No２さんの考え方は惜しいですね。
４で割った時ならば１００が４で割り切れるのでこれでいいのですが、
８で割った時なので、百の位まで考える必要があります。

百の位まで考えると、
奇数乗のときは下三桁は１２５
偶数乗のときは下三桁は６２５になります。

ということで、余りは１です。

お礼

これを書き込んだそのあとに気付きました。ありがとうございました。

回答No.3

yoikagari

二項定理を用います

5^2500=(5^2)^1250=(1+8*3)^1250=1+1250*(8*3)+{(1250*1249)/2}(8*3)^2+…+(8*3)^n
8*3、(8*3)^2、…、(8*3)^nはすべて8で割り切れるから
1+1250*(8*3)+{(1250*1249)/2}(8*3)^2+…+(8*3)^n=1+8*(整数)
の形で書くことが出来る。

したがって、5^2500を8で割った余りは1です。

お礼

二項定理でも出来るんですね。俺も二項定理を使かえるようになりたいです。でも二項定理は必要ありません。

回答No.2

naruto444

これは、要するに一の位と十の位の数字さえわかれば、できるということです、つまり、５＾１＝５、８＾２＝２５・・・・・っとやっていくと、一の位は、ずっと５で循環してるわけです。
つまり、2500乗したときの一の位は５となるわけです。
次に十の位ですが、これも、２が永遠に続くわけです。２５÷８＝３あまり２
答えは、２だと思います。
あまり、自信がないのですが、参考になればよいかと。
ちなみに、これは中学三年生で、とけるようなレベルです、よく、高校入試で、こんな問題がありますよ。
勘の鋭い、中学生なら、一年生でも、いけるでしょう。

お礼

これを書き込んだそのあとに気付きました。ありがとうございました。答えは１ですが。下三桁が必要です。