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３の99乗÷７の余り
中学の数学応用の問題です。 ３の99乗÷７の余りはいくつになるでしょうか。下のヒントから考えましょう。 〈ヒント〉 ３÷７の余りは３ ３の２乗÷７の余りは２ ３の３乗÷７の余りは６ ３の４乗÷７の余りは４ 以下同じように５乗、６乗、７乗…と増えていき、 余りは５、１、３、２、６、４、５、１、３…となっていきます。 中学生レベルの解説を一緒につけていただけると嬉しいです。 お願いします。
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こんにちは ある数が7の倍数+3であるとき 3×その数 を7で割った余りは3×(7の倍数+3)を7で割った余りで2 ある数が7の倍数+2であるとき 3×その数 を7で割った余りは3×(7の倍数+2)を7で割った余りで6 ある数が7の倍数+6であるとき 3×その数 を7で割った余りは3×(7の倍数+6)を7で割った余りで 18を7で割った余りに等しく4 ある数が7の倍数+4であるとき 3×その数 を7で割った余りは3×(7の倍数+4)を7で割った余りで 12を7で割った余りに等しく5 ある数が7の倍数+5であるとき 3×その数 を7で割った余りは3×(7の倍数+5)を7で割った余りで 15を7で割った余りに等しく1 ある数が7の倍数+1であるとき 3×その数 を7で割った余りは3×(7の倍数+1)を7で割った余りで3 これで「7で割った余りが3である数字」を3倍するごとに余りが 2→6→4→5→1→3→（以下繰り返し) となることがわかりました. つまり3を6回掛けるごとに余りが3に戻る. 3の99乗というのは3(7で割った余りは3)に3を98回掛けたものなので 6×16+2回 3を掛けていますから 3(→2→6→4→5→1→3)×12回→2→6 と余りが変化して6になるのが 答えではないでしょうか
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- DIooggooID
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余りが ・・・ ３ の場合、その母数（割る前の数）は、 商 ｘ ７ ＋ ３ で表すことができます。 次数が １つ上がると、・・・ 商 ｘ ７ ｘ ３ ＋ ３ ｘ ３ になります。 前半部分は、７ の倍数に ３ を掛けたものなので、 ７の倍数です。 後半部分は、３ ｘ ３ ＝ ９ です。 これは 余りが ２になります。 したがって、 その母数は、 商' ｘ ７ ＋ ２ となります。 次数が １つ上がると、・・・ 商' ｘ ７ ｘ ３ ＋ ２ ｘ ３ になります。 前半部分は、７ の倍数に ３ を掛けたものなので、 ７の倍数です。 後半部分は、２ ｘ ３ ＝ ６ です。 これは 余りが ６になります。 したがって、 その母数は、 商'' ｘ ７ ＋ ６ となります。 次数が １つ上がると、・・・ 商'' ｘ ７ ｘ ３ ＋ ６ ｘ ３ になります。 前半部分は、７ の倍数に ３ を掛けたものなので、 ７の倍数です。 後半部分は、６ ｘ ３ ＝ １８ です。 これは 余りが ４になります。 したがって、 その母数は、 商''' ｘ ７ ＋ ４ となります。 次数が １つ上がると、・・・ 商''' ｘ ７ ｘ ３ ＋ ４ ｘ ３ になります。 前半部分は、７ の倍数に ３ を掛けたものなので、 ７の倍数です。 後半部分は、４ ｘ ３ ＝ １２ です。 これは 余りが ５になります。 したがって、 その母数は、 商'''' ｘ ７ ＋ ５ となります。 次数が １つ上がると、・・・ 商'''' ｘ ７ ｘ ３ ＋ ５ ｘ ３ になります。 前半部分は、７ の倍数に ３ を掛けたものなので、 ７の倍数です。 後半部分は、５ ｘ ３ ＝ １５ です。 これは 余りが １になります。 したがって、 その母数は、 商''''' ｘ ７ ＋ １ となります。 次数が １つ上がると、・・・ 商''''' ｘ ７ ｘ ３ ＋ １ ｘ ３ になります。 前半部分は、７ の倍数に ３ を掛けたものなので、 ７の倍数です。 後半部分は、１ ｘ ３ ＝ ３ です。 これは 余りが ３になります。 したがって、 その母数は、 商'''''' ｘ ７ ＋ ３ となります。 この母数の形式は、 最初の母数の形式と 同じです。 次数を 増やしても、 ７ で割ったときの 余りは、 上記の 繰り返しになります。 ３、 ２、 ６、 ４、 ５、 １、 ・・・
お礼
私はめちゃくちゃバカなので、 読み終わってから少し悩んでしまいましたが、 なんとかわかりました。 これで今日は安心です。 ありがとうございました。
- DIooggooID
- ベストアンサー率27% (1730/6405)
３ の次数が 増加するにつれて、 その数を ７ で割ったときの 余り が、 ３、 ２、 ６、 ４、 ５、 １、 ３、 ２、 ６、 ４、 ５、 １、３、 ２、 ６、 ４、 ５、 １、 と、"３、 ２、 ６、 ４、 ５、 １" の繰り返しになる点に着目 すれば良いと思います。
お礼
なるほど！！ そう考えると 少しだけ 簡単な感じがします。 自分の頭の中もようやく整理がつきました。 ありがとうございました。