3乗の展開

質問

この前、学校で数学のテストがあり、展開の問題が出題されたのですが、一題分からない問題がありました。
その問題は、授業で使っている問題集になく、先生のオリジナル問題でした。
さらに、先生が作った解答は答えだけで、また現在試験前につき、職員室に入れず、先生に質問することが出来ないので分からないままになっています。
そこで、途中式も含めて次の問題の解答を教えてください。

問題（a＋b＋c)^3－(a－b＋c)^3－(a＋b－c)^3＋(a－b－c)^3を展開しなさい。

ちなみに、(a＋b)^3や(a＋b＋c)^2の公式は習っています。

回答No.4

Knotopolog · ベストアンサー

＞問題（a＋b＋c)^3－(a－b＋c)^3－(a＋b－c)^3＋(a－b－c)^3を展開しなさい。

（a＋b＋c)^2 の公式を習っていれば，（a＋b＋c)^2 の公式を使って，

(a＋b＋c)^3 ＝(a＋b＋c)・(a＋b＋c)^2 が直ぐに計算できると思います．

問題の展開した計算結果を得るのには，係数だけを考えればいいでしょう．

まず，(a＋b＋c)^3 は，

(a＋b＋c)^3 ＝
＝a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3a^2c+3cb^2+3ac^2+3bc^2+6acb

ですから，係数を書き出すと，

a^3｜b^3｜c^3｜a^2b｜a^2c｜ab^2｜cb^2｜ac^2｜bc^2｜acb｜
＋1｜＋1｜＋1｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜＋6｜(a+b+c)^3

となります．｜　は単なる区切りに使用しているだけです．
次に，（a＋b＋c)^3，(a－b＋c)^3，(a＋b－c)^3，(a－b－c)^3　の係数を書き出して並べると，

a^3｜b^3｜c^3｜a^2b｜a^2c｜ab^2｜cb^2｜ac^2｜bc^2｜acb｜
＋1｜＋1｜＋1｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜＋6｜(a+b+c)^3
＋1｜－1｜＋1｜.－3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.－3｜－6｜(a-b+c)^3
＋1｜＋1｜－1｜.＋3｜.－3｜.＋3｜.－3｜.＋3｜.＋3｜－6｜(a+b-c)^3
＋1｜－1｜－1｜.－3｜.－3｜.＋3｜.－3｜.＋3｜.－3｜＋6｜(a-b-c)^3

です．問題は（a＋b＋c)^3－(a－b＋c)^3－(a＋b－c)^3＋(a－b－c)^3 を展開しなさい．ですから，－(a－b＋c)^3　と　－(a＋b－c)^3　の符号を書き込むと，以下のようになります．

a^3｜b^3｜c^3｜a^2b｜a^2c｜ab^2｜cb^2｜ac^2｜bc^2｜acb｜
＋1｜＋1｜＋1｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜＋6｜(a+b+c)^3
－1｜＋1｜－1｜.＋3｜.－3｜.－3｜.－3｜.－3｜.＋3｜＋6｜-(a-b+c)^3
－1｜－1｜＋1｜.－3｜.＋3｜.－3｜.＋3｜.－3｜.－3｜＋6｜-(a+b-c)^3
＋1｜－1｜－1｜.－3｜.－3｜.＋3｜.－3｜.＋3｜.－3｜＋6｜(a-b-c)^3

これらの係数を　｜　に沿ってタテの加えれば，
（a＋b＋c)^3－(a－b＋c)^3－(a＋b－c)^3＋(a－b－c)^3 になります．これを計算すると，

a^3｜b^3｜c^3｜a^2b｜a^2c｜ab^2｜cb^2｜ac^2｜bc^2｜acb｜
＋1｜＋1｜＋1｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜＋6｜(a+b+c)^3
－1｜＋1｜－1｜.＋3｜.－3｜.－3｜.－3｜.－3｜.＋3｜＋6｜-(a-b+c)^3
－1｜－1｜＋1｜.－3｜.＋3｜.－3｜.＋3｜.－3｜.－3｜＋6｜-(a+b-c)^3
＋1｜－1｜－1｜.－3｜.－3｜.＋3｜.－3｜.＋3｜.－3｜＋6｜(a-b-c)^3
＋0｜＋0｜＋0｜.＋0｜.＋0｜.＋0｜.＋0｜.＋0｜.＋0｜＋24｜

ですから，

（a＋b＋c)^3－(a－b＋c)^3－(a＋b－c)^3＋(a－b－c)^3 ＝24abc

となります．

お礼

なるほど。係数だけを考えることで簡単に解けるのですね。
丁寧な説明、ありがとうございました。

回答No.5

ji6

因数分解の公式をうまく使うと、展開が簡単になるかも！
　A^3-B^3=( )( )

お礼

なるほど。一度因数分解をするのですね。
ありがとうございました。

回答No.3

koujikuu

a+b=x a-b=y と置き換えれば
(x+c)^3-(x-c)^3 -(y+c)^3+(y-c)^3 公式で展開できると思いますが。

お礼

置き換えをして、公式で解けばよいのですね。
ありがとうございました。

回答No.2

noname#150695

b+cをd、b-cをeとおくかその二つを()でかこんで一つと見なし、aをＡ、dとeをＢと考えて(Ａ+Ｂ)^3-(Ａ-Ｂ)^3と(Ａ+Ｂ)^3+(Ａ-Ｂ)^3の解を導けば簡単にできたはずです
間違いだったらごめんなさい

お礼

置き換えをすればよいのですね。ありがとうございました。

回答No.1

Parinne

( ´・ω・｀)_「a^3+b^3=」　ヒントは以上です。

お礼

ありがとうございました。