指数と対数を含んだ式の変形

質問

こんにちは。今、数学の問題で悩んでいます。
x^2-x^2*lnx=Aをx=の式に変形したいのですが
やり方がわかりません。（x:変数, A:定数）
ご存知の方がいらっしゃいましたら教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

#1です。
W関数w(x)は
x=g(w)=w*exp(w) の逆関数
w=w(x)=g-1(x)
のことです。
このW関数を使って
x=f(A,B)=？　←この？にw(AとBの式）が含まれる
を求めるわけですから
A#1の補足質問の最後の方の式
＞-A/(B*x^2)=w(-A/(B*x)/exp(1/B))
のようにw(・)の括弧の中にxを含んだ変形をしても何の意味もありません。括弧の中にはA,Bを使った式になるよう式を変形しないといけません。

＞x^2-B*x^2*lnx=A　(A,B:定数)
x=f(A,B)={e^(1/B)}*e^{(1/2)*w(-2(A/B)exp(-2/B))}…(1)
となりますね。

解き方）
(x^2)-B(x^2)ln(x)=A
(x^2){ln(x)-(1/B)}=-A/B
(x^2)exp(-2/B){ln(x)-(1/B)}=-(A/B)exp(-2/B)
exp{2*ln(x)-(2/B)}=-(A/B)exp(-2/B)/{ln(x)-(1/B)}
-2(A/B)exp(-2/B)={2*ln(x)-(2/B)}exp{2*ln(x)-(2/B)}

W関数で表すと
2*ln(x)-(2/B)=w(-2(A/B)exp(-2/B))=w=g-1(-2(A/B)exp(-2/B))

ln(x)-(1/B)=(1/2)*w(-2(A/B)exp(-2/B))
w(・)のカッコ内がA,Bだけの式になっていることに注意して下さい。

後はx=…の式に変形するだけですね。
すると(1)の式になります。

補足

大変わかりやすい説明有難うございます。
一箇所だけわからないところがあるのですが、お教え下さい。

(x^2){ln(x)-(1/B)}=-A/B
↓
(x^2)exp(-2/B){ln(x)-(1/B)}=-(A/B)exp(-2/B)

の式の変形でなぜexp(-2/B)を両辺にかけているのですか？
このexp(-2/B)はどこから出てきたのですか？

いたらないところがあり申し訳ございませんがよろしくお願いします。

回答No.4

info22

#1～#3です。
A#3の補足質問の回答
＞(x/r)^2*(1-ln(x/r)^2)=A（x:変数、r,A:定数）
＞このときx/r=Xとおいて解いてもよろしいのでしょうか？
かまわないです。出てきたXをr倍すればxになるだけです。

解はAの値によりxが２個、４個、３個、０個になる場合があります。
(X^2)*(1-ln(X^2))=A（x:変数、A:定数）…(A1)
と
(X^2)*(1-2*ln(X))=A（x:変数、A:定数）…(A2)
の違いは(A1)の左辺は偶関数で、(A2)はXの変域はX＞0となります。
(A2)の解がX1,X2であれば(A1)の解は±X1,±X2になります。
A<0で(A2)の解をX1とすれば、(A1)の解は±X1となります。

A#3の(A1)の解は(A2)の解に±の符号をつけた物になります。
また(A2)の解は「x^2-B*x^2*lnx=A」でB=2とおいた時の解で既にA#2で解の求め方は示したとおりです。

＞＞x^2-B*x^2*lnx=A　(A,B:定数)　←B=2とおく。
＞x=f(A,B)={e^(1/B)}*e^{(1/2)*w(-2(A/B)exp(-2/B))}…(1)←B=2とおく。
しかし、A>0でxが２つ存在するケースでは(1)は大きい方の解X2>0になります。小さい方の解X1>0は
X1={e^(1/B)}*e^{(1/2)*w(-1,-2(A/B)exp(-2/B))}…(2)　←B=2とおく。
で与えられます。
A#3の(A1)の解は±X1,±X2(0<X1<X2)となります。
A>0の値が大きくなるとXの解が存在しなくなります。

解の数は
f(x)=(x^2)*{1-ln(x^2)}=A
y=f(x)(x^2)*{1-ln(x^2)}のグラフと
y=AのグラフのAを変化させて交点数がどう変化するか
を見れは明らかでしょう。

解法は色々なケース分けが出てきて複雑になりますので省略して結果だけにします。
解が±X1,±X2（0<X1<X2とする)の異なる4個存在する場合はランベルトのW関数がw(x)とw(-1,x)の2種類出てきます。w(x)はX2に対応し、w(-1,x)はX1の方に対応します。

お礼

親切な説明有難うございます。
もう少し自分なりに勉強してみます。

回答No.3

info22

#1,#2です。

＞(x^2){ln(x)-(1/B)}=-A/B
＞↓
＞(x^2)exp(-2/B){ln(x)-(1/B)}=-(A/B)exp(-2/B)
＞
＞の式の変形でなぜexp(-2/B)を両辺にかけているのですか？
＞このexp(-2/B)はどこから出てきたのですか？

x=f(w)=w*exp(w), xは定数
の形に持って行かないとW関数が当てはまらないからですね。
そのため式の変形を先読みすれば、exp(-2/B)を掛けること
が必要だということが分かるのです。

補足

大変有難うございます。なかなか難しいのですね。
最後に以下の式の解法をお教え下さい。

(x/r)^2*(1-ln(x/r)^2)=A
（x:変数、r,A:定数）

このときx/r=Xとおいて解いてもよろしいのでしょうか？
またこのときの解法と解はどのようになるのでしょうか？

お手数おかけしまして申し訳ございませんがよろしくお願いします。

回答No.1

info22

初等関数の範囲では一般的には解けません。
Aが特殊な場合
A=0の場合は x=e ,0 で解けます。
ここで、eはネピア（ネイピア）数（自然対数の底）です。
A≠0に対してはx=f(A)の形では初等関数を使って表す子とはできません。

参考）初等関数の範囲では解けませんが
Aの任意の実数値に対して ｘの実数値は数値計算では求められる。
初等関数を使っては x=f(A)の形式に表せない。
特殊関数「LambertのW(x)関数」を使えば表される。
→x=f(A)=e^[(1/2)LambertW(-2A/e^2)+1]
ということです。
ランベルトのW関数については以下を参照のこと。
http://dl.cybernet.co.jp/matlab/support/manual/r14/toolbox/symbolic/?/matlab/support/manual/r14/toolbox/symbolic/lambertw.shtml

補足

有難うございます。
自分なりに試行錯誤、式の変形を行ったのですが、
x=f(A)=e^[(1/2)LambertW(-2A/e^2)+1]
にたどり着けませんでした。

また、実際に解きたい式は
x^2-B*x^2*lnx=A
です。(A,B:定数)
どのように解いたらよいのでしょうか。
途中計算を教えていただけませんでしょうか。
以下に自分の式変形過程を示します。
ご指導をいただけたら幸いです。

両辺をx^2で割ると
1-B*ln(X)=A/x^2

ln=に変形整理すると
ln(x)=1/B-A/(B*x^2)

X=に変形すると
x=exp(1/B-A/(B*x^2))

expを分けると
x=exp(1/B)*exp(-A/(B*x^2))

xを含んだexpを左辺に移動すると
exp(-A/(B*x^2))=x/exp(1/B)

両辺に-A/(B*x^2)をかけると
-A/(B*x^2)*exp(-A/(B*x^2))=-A/(B*x)/exp(1/B)

上記の式をW関数に適応すると
-A/(B*x^2)=w(-A/(B*x)/exp(1/B))

最後、X=の式に変形する。