Sin3θ ,cos3θ

質問

cos３A＝４cosAsin3A
sin３A＝３sinA－４sin3 A
になる過程が分かりません。

またsin4A,sin5A，sin6Ａ...
cos4A,cos5A, cos6A...
と変わると何か共通のパターンがあるのでしょうか。

教えてください。お願いします＞＜

回答No.2

パんだ パンだ（@Josquin） · ベストアンサー

加法定理を使って変形していってください。

cos3A=cos(2A+A)
=cos2AcosA-sin2AsinA
=cos(A+A)cosA-sin(A+A)sinA
={(cosA)^2-(sinA)^2}cosA-(2sinAcosA)sinA
以下省略。

お礼

回答有難うございました。
過程まで記してくれて感謝の限りです。
参考にさせてもらいます♪

回答No.3

masudaya

皆さんが加法定理の応用なので別の方法を紹介します.
ド=モアブルの定理を利用するものです.
定理自体は
exp(inθ)=(exp(iθ))^n
というたいそうシンプルなものですが,
これとオイラーの公式
exp(iθ)=cosθ+i*sinθ
をもちいると
cos(nθ)+i*sin(nθ)=(cosθ+i*sinθ)^n
となるので,n倍角の公式が導けます.
(この方法の利点は低い次数の倍角の公式を知らなくても,高い次数の倍角の公式が導けることくらいでしょうか)
これで3倍角の式は

cos3θ+i*sin3θ=(cosθ+i*sinθ)^3
=(cosθ)^3+3i((cosθ)^2*sinθ)-3(cosθ*(sinθ)^2)-i(sinθ)^3
=(cosθ)^3-3*cosθ*(sinθ)^2
+i(3*(cosθ)^2*sinθ-(sinθ)^3)
=cosθ((cosθ)^2-3*(sinθ)^2)
+i*sinθ(3*(cosθ)^2-(sinθ)^2)
=cosθ((cosθ)^2-3*(1-(cosθ)^2))
+i*sinθ(3*(1-(sinθ)^2)-(sinθ)^2)
=4*(cosθ)^3-3*cosθ+i(3*sinθ-4*(sinθ)^3)

と求まります.(結構しんどいですね)

お礼

加法定理以外の方法もあったのですか。
全然知りませんでした。
exp、電卓にあるのでずーっと何なんだろうなって思ってたんです。
参考になりました。
勉強しときます！有難うございました！

回答No.1

ishun_xeno

加法定理を使って sin(2θ+θ), cos(2θ+θ) を計算してみてください。
この繰り返しで4θ以上を求めても、計算は大変だし規則性も見えにくいです。下記サイトなどを参考にしてください。

参考URL：

http://abekobe.cocolog-nifty.com/blog/2004/10/n.html

お礼

回答有難うございます。
加法定理を使ってみたら解けたみたいです。
助かりました。