関数について

質問

質問です。

f(t, u(t)) = t + u(t)
という、関数があるとしたら、

f(t+Δt, u(t))
の場合は、以下のどちらになるのでしょうか？

(1) (t+Δt) + u(t)
(2) (t+Δt) + u(t+Δt)

回答No.5

sunasearch · ベストアンサー

#1で定義が曖昧といったのは、

f(t, u(t)) のt が 、
t + u(t)　の　u(t)の中のtとは違うとは言い切れないためです。

また、関数において、f(x,y)とあったときには、
xとｙは独立変数と呼ばれ、
他の変数とは独立に値を定められる必要がありますが、ご質問の式においては、
tとu(t)の間にも、独立変数と従属変数の関係があるため、通常の２変数関数とは異なります。

また、f(t, u(t))の中のtは共通のtですから、
前者のtだけをt+Δtとすることはできないと思います。

もし区別するとすれば、
f(t, u(s)) = t + u(s)とした上で、

f(t+Δt, u(s)) = t+Δt + u(s)

と記述すればすむ話かと思います。

お礼

sunasearchさん, rinri503さん、
回答ありがとうございました。

どうやら、定義によるもので、
f(t, u(t)) = t + u(t)
だけでは、判断できないようですね。

ご参考にさせていただきます。
ありがとうございました。

回答No.4

rinri503

ＮＯ２ですが次のように解釈すべきではないですか
（１）f(t, u(t)) = t + u(t)とするとき
　　　ｔ→ｔ＋Δｔ　なら　f(t, u(t)) はどう表しますか　　　という問題なら、たしかに　t＋Δｔ＋u(t＋Δｔ) に　　　なります

（２）ところが、問題は、f(t+Δt, u(t))は、どうなりますかとたずねています。これは
　　Ｚ＝f(t, u(t)) という２変数関数と
　　Ｚ＝f(t+Δt, u(t))　という２変数関数とは別物と考　　　　えるべきで、Ｚ＝ｆ（ｘ，ｕ）において
　　　　ｘ＝ｔ＋Δｔのときも
　　　　変数ｔで表した関数ｕには、ｔを代入しなさいと　　　　いう意味で(t+Δt) + u(t+Δt)の解答を得るために　　　　は、ｆ（ｔ＋Δｔ，ｕ（ｔ＋Δｔ）でなくてはなら　　　　ないと思いますが

回答No.3

sunasearch

たとえば、
u(t) = t+3としましょう。

すると、f(t,u(t))　＝　t + t + 3　＝　2t + 3
になります。

t = 1 としたときには、
u(t)の値を自由に決めることはできず、
勝手に、u(t) = 1+3 = 4　と決まってしまいます。

上記の例からもわかるように、
f(t, u(t)) = t + u(t)

tがΔｔ増えたということであれば、
すべてのtが影響を受けますから、

順序としては、

ｔ->t+Δtとした時点で、
u(t) -> u(t+Δt)となりますので、

f(t+Δt, u(t))　→　f(t+Δt, u(t+Δt))

よって、

(2) (t+Δt) + u(t+Δt)

になります。

回答No.2

rinri503

これは、２変数関数ではないですか
　ｆ（ｘ，ｕ）＝ｘ＋ｕ　において
　　ｘ＝ｔ　　ｕ＝ｔで表した関数でｘとｕは、別物
したがって
　　与式＝ｆ（ｔ＋Δｔ，ｕ（ｔ））
　　　　＝ｔ＋Δｔ＋ｕ（ｔ）

回答No.1

sunasearch

f(t, u(t)) = t + u(t)

という定義自体が曖昧なので、
どちらとも言えないと思います。

そもそも、
fのカッコ内の変数は互いに独立でないといけません。

tが決まった時には、
u(t)の値も１つに決まってしまうので、
f(t,u(t))と２つのtとu(t)を書く理由がなく、
f(t) = t + u(t) で十分になります。