微分方程式の解について

質問

ある物体（たとえば肉まん）を熱したとき、その物体のｔ秒後の温度は微分方程式

　dy/dt=-ky

を解いてその解、

　　ｙ＝e^-kt

で現わされますよね。でもこの関数は、いつまでたっても(この場合は有限の時間内の話をしています）外気温と等しくなりません、ということはその物体の温度はいつまでたっても、外気温と同じにならないという事ですよね。

でもそんなことは無いような気がするんですけど、どうですか？
お願いします。

回答No.3

pyon1956 · ベストアンサー

数学的には確かに永久に等しくならないで正解です。
でも物理では測定誤差以下の違いは問題にしませんので実質的に同じという考えをします。
第一個々の分子のエネルギーは均等ではないのであくまで巨視的な物体の、境界面で近似的にこういう式が成り立っているというだけですし。外気温も一様であると仮定しての話ですが現実にはそんなことはありえません。
繰り返しますが数学的にはそんなことはあるんです。でも物理的には無意味です。

お礼

勉強になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

yumisamisiidesu

>　|T1-T2|<ε
　(時間がたつにつれ、)温度差が限りなく小さくなる
　と言うことを意味したいと思います
　ですから、収束すると言うことで、完全に一致する
　と言うこととは区別されると思います

　lim[t→∞](e^-kt)=0 ですが、
　∃t∈R;e^-kt=0 ではありません

回答No.1

Ideasforlife

回答というよりは、こんなことなのでは？というお話を書きます。

外気温T1と肉まんの表面温度T2が等しいということは、T1=T2 ではなく、現実問題としては
　｜T1-T2|<ε
となることだと考えます。
初期温度T2(0)の肉まんが
　T2(t) = T2(0)e^{-kt}
にしたがって冷めるとき、tをそれなりに大きくとれば、そんなに時間がかからず、
　　｜T1-T2|<ε
を満たすことはすぐにお分かりいただけますね？

微分方程式で記述できるのはある種の理想状態のモデルであって、現実の近似であるということです。また、温度が等しいとか、長さが等しいというようなことも、測定の精度に依存し、厳密に等しいのではなく、等しいとみなすのだということですね。

お礼

ご回答ありがとうございました。

｜ｔ１－ｔ２｜＜ε
というのはどういう事ですか？