テイラー展開についての基本的な質問です。

質問

テイラー展開についての基本的な質問です。
ピントはずれの質問かもしれませんが、よろしくお願いします。
f(x)を１０項(例えば)まで、ａについてテイラー展開したとします。
これをg(x)とします。
x=a の近傍のxでは、f(x)とg(x)の値は近い値になるが、x=aから離れれば離れるほど
f(x)とg(x)の差も大きくなるのでしょうか。
別の言い方をすれば、x=aの近傍でのxについてのf(x)とg(x)の差よりも、小さくなるような、x=aの近傍でないxが存在するのでしょうか。
もう少し整理すると、h>0,f(a+h)-g(a+h)の差は増加関数になるのか。
よろしくお願いします。

回答No.2

Willyt · ベストアンサー

離れれば離れるほど差が大きくなるというのは違います。離れれば離れるほどテイラー展開をした結果の値が信用できなくなるということです。つまり差が大きくなるのか小さくなるのかがわからなくなるのです。もし大きくなると分かっていればその差を足し込めばいいわけですよね。ところが分からないから足し込めないのです。

お礼

ありがとうございます。
つまり差が大きくなるのか小さくなるのかがわからなくなるのです
というところに納得できました。テイラー展開の意味が多少わかったように
なりました。

回答No.1

Tacosan

当然ながら, f(a+h) - g(a+h) は h > 0 の範囲で単調増加とは限りません.
テイラー展開でとる項数は本質的には関係なく, 1項だけ (つまり 0次近似) を考えれば明らか. あるいは適当な x の 10次多項式 P(x) に対し
f(x) = P(x) + 10^100x^99 - 10^99x^100
として x=0 のまわりでテイラー展開して 10次式を求めると
g(x) = P(x).
この差 |f(x) - g(x)| = |10^100x^99 - 10^99 x^100| は x = 0, 10 で 0 になる連続関数なので, 当然単調増加ではありえません.

お礼

疑問に回答いただきありがとうございます。
解決でき、理解を深めることができました。