２次方程式の解を確認するときはどんなとき？

質問

チャート式やニューアクションαを使って勉強しています。
２次方程式が絡む問題で、解答を見ていると、たまに解が出た後に、もとの式に戻して、その解が正しいかどうかを確認していることがあります。（解の妥当性を検討する？）
どんなときに、元の式に戻して確認する必要があるのか、教えてください。

ある方程式（１）とある方程式（２）をあわせてつくった方程式（３）で出てきた解が、（１）と（２）の解になるかどうかは、確認しなければ分からない・・ということでしょうか？

回答No.3

notnot · ベストアンサー

式の変形が、可逆なものだけなら必要ないですが、非可逆な変形をした場合は、最終的な方程式が解の必要条件ではあるが十分条件で無い可能性があります。
単純なケースで、x-1=0 を満たすxは1だけですが、x=1と可逆な変形をして、次に両辺を自乗すると言う非可逆な変形をすると、x^2=1 で、この2次方程式を解くと、x=-1,1となりますが、元の式の解は1だけです。

お礼

可逆、非可逆　という言葉が、言葉として覚え易くて、良かったです。

状況から見て、これは確認する必要があると、簡単にわかる場合もありますが、複雑な状況だと、混乱して、分からないときがあります。一連の式変形は可逆だったか？という視点で見れば良いのですね。
ありがとうございました。

回答No.4

rinri503

吟味という作業で、応用問題のとき必要になるときがあります。
　たとえば　面積が９の正方形の１辺の長さは
　これを解くとき　ｘ＾２＝９　をたてますが　
　　ｘ＝±３のうち　－３は不適として　解は、ｘ＝３
　　と出します。このうち－３以下を吟味といいます
これは、応用問題から式をたてるとき、すべての条件をたてず、とりあえず主要な式をたて、出た解のうち、不要なものを、吟味という作業して確認したほうが早いからです。
　上の場合　ｘ＾２＝９　かつ　ｘ＞０　の２式をたてれ　ば、吟味する必要はありません。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

eatern27

例えば、
(1)　方程式x-1=2を解くとします。
(2)　(1)の両辺を二乗して、(x-1)^2=4
(3)　(2)で得た二次方程式の解を求めて、x=3,-1
(4)　よって、(1)の解はx=3,-1

式変形自体は間違っていないのですがx=-1という余計な解まで含まれています。
余分な解が含まれてしまった、原因は、(2)での"二乗する"という、逆の成り立たない変形をしたことにあります。

このように、途中で、逆が成り立たない変形をした場合には、余分な解・条件などが含まれる可能性があるので、「逆に～」と確かめる必要があります。

上の解き方の場合だったら、
(5)　x=3は(1)を満たすが、x=-1は(1)を満たさない。
(6)　(1)の解はx=3
という感じになりますかね。

問題集に載っていた問題がどんなものかは分かりませんが、逆を確かめているものは、上記のような理由だと思います。

お礼

ありがとうございます。
これくらい分かり易い例だと、私でもわかるのですが、
「この場合は必ず確かめる必要がある」という、一般化した決まりごとを知りたいと思いました。

回答No.1

sunasearch

解析的、論理的に正しく解いているのであれば、答えを改めて確認する必要はありません。

計算間違いをしてないことを確認するためと、問題の条件を見落としていないことを確認することが目的だと思います。

普段から、出した答えを確認する癖をつけておけば、ケアレスミスによる減点や、その後に続く問題を立て続け手に間違えたりしなくてすみます。

お礼

ありがとうございました。