無限論？

質問

カントールは確か、無限にも大小があると言っていますよね。2の倍数と3の倍数（ここでは、2nや3nなどと表現してnは自然数とします。つまり2,4,6などの集合と3,6,9などの集合です）は2の倍数が大きいと考えても良いのでしょうか？

回答No.4

adinat · ベストアンサー

濃度の考え方を使えば証明はできますが、やはり直感には反しています。無限を定義したときから既に直感は役にたたなくなってしまったのでしょう。こういうときはやはり抽象的な数学の論理に従うしかありません。

普通、われわれがものを数えるときは無意識のうちに1対1対応ということを行っています。たとえばりんごが5個あって、それを数えるとします。5個ぐらいだと見た瞬間にわかると思いますが、大抵脳の中に何か物体を5個イメージして、そのひとつひとつが視覚にあるりんごひとつずつと線で結ばれているイメージです。あるいは5つのりんごを1つずつ数えていて、数字の1、2、3、4、5と一個一個対応させていけばよい。無限の場合もこれを同様の操作を考えますが、なんせ無限、1個1個対応させていってはきりがないので、大抵ウルトラCを使います。関数というものを持ち出すのです。

直感はすべての整数と、偶数全体は、すべての整数の方が二倍ぐらい数が多いと主張しますが、これは周知のように誤りです。でも直感はどう考えても整数全体の方が偶数全体より少なくなることはない、ということを教えてくれます。これはこれで正しいのです。なぜなら、偶数1個に対して、それにもれなく対応する整数が存在するからです。直感と反する結果をうむのは、このとき余った奇数分だけ整数の方が多いじゃないか、というようなことから生じます。無限の場合は少し多いぐらいでは多いことにならないということは直感では納得いかないので、素直に認めるしかありません。でもとりあえず♯(整数全体)≧♯(偶数全体)という主張は正しいわけです。（♯は集合の個数、あるいは濃度）これが同じであるということは、つまり逆の不等式が成り立たなくてはいけません。それにはたとえばこう考えてみるのです。ちょっと無茶な例を考えいますが。整数xに対して、4xという整数を対応させます。明らかにこれはxが違えば4xも違う整数を生みます。したがってこれは整数全体と4で割れる整数全体を対応させています。だから、偶数全体は4の倍数を含むわけですから、♯(整数全体)≦♯(偶数全体)もわかります。結局♯(整数全体)＝♯(偶数全体)なのです。ご質問の＃(2の倍数)＝♯(3の倍数)も同じことです。実はこんな面倒なことをしなくても、整数xに対して、2xを対応させればぴったり1対1に対応するわけですから、これらの集合の数は同じだという結論が出てきます。

正しくは＃(2の倍数)＝＃(3の倍数)です。直感が支持している一見2の倍数の方が多そう、というのは実は＃(2の倍数)≧＃(3の倍数)ということを主張しているのです。さきも述べたように無限の世界では少し増えたぐらいでは増えたことにならないという理由によって＃(2の倍数)＞＃(3の倍数)となることまではいえないわけです。そういうわけで2の倍数の方が3の倍数よりも少ないということはないが、かといって多いということを説明することはできない。そして実際多くない、ということが証明できる。と思われたら直感もだいぶおいついてくれるのじゃないかと僕は期待します。

以下ちょっと無茶な話をします。よい例かどうかは知りません。A君とB君は2の倍数、3の倍数を全部数える、という競争をすることにしました。面倒くさいので正のものだけを数えることにします。A君が2,4,6,…と数えている間に、B君は3,6,9,…と数えていきます。明らかにB君の方が早く終わりそうです。そこでA君はB君の2倍の速さで数えることにします。A君が400万まで数えたころ、B君はまだ300万です。この場合A君の方が早く終わりそうです。こういうように数倍程度のスピードで数えていって負けるぐらいでは、無限の個数という意味ではぜんぜん多いうちには入らない、という1つの例です。有限の場合はこうはなりませんけれど。

まとまりない説明になってしまいました。すみません。

お礼

どうもありがとうございます！m(__)m
A君とB君の競争の話しで直感的にも納得がいきました。直感を裏切る真実があるのですね。その方がなんだかやはり真実ですね。自分が何を言っているのか分かりませんが、、、m(__)m直感を超えた世界があるのは面白いです。考えてみれば、インターネットの世界も直感を超えているようです。教えてgooは、素晴らしいですね。瞬時にして専門家や様々な方のご意見を聞けるなんて。数学の世界を勉強したくなりました。どうもありがとうございました。(^。^)

回答No.3

shkwta

これは、このカテゴリでちょっと前の質問
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1288081
で出てきた「濃度」の話だと思います。

無限集合では個数を数えられないので、代わりに「濃度」というものを考えます。
具体的には、２つの集合の要素が１対１に対応するとき、２つの集合は同じ濃度とします。

「自然数の集合」「２の倍数の集合」「３の倍数の集合」
この３つは、互いに１対１に対応します。したがって、同じ濃度です。

n ⇔ 2n ⇔ 3n

「自然数の集合」と「整数の集合」も同じ濃度です。
なぜなら、
1,2,3,4,5,…　に対して、0,+1, -1, +2, -2, … と対応させることができるからです。

さらに、「自然数の集合」と「有理数の集合」も同じ濃度です。
　(1)最初は0
　(2)正の分数の次に負の分数
　(3)分母と分子の和が小さいものから順に並べる
　(4)和が同じなら分母が小さいものから順に並べる
とルールを作れば、

0, 1, -1, 2, -2, 1/2, -1/2, 3, -3, 1/3, -1/3, …

と並べられます。要するに、「何らかのルールで要素を一列に並べられる集合」はすべて、自然数の集合と同じ濃度です。自然数の集合と同じ濃度であることを「可算個である」ともいいます。

実数（有理数と無理数をあわせたもの）の集合は、自然数と１対１に対応させることができず、加算個より高い濃度であることが証明されています。

(参考）
http://www.gcc.ne.jp/~narita/prog/math/01/

参考URL：

http://www.gcc.ne.jp/~narita/prog/math/01/

お礼

ありがとうございます。m(__)m
非常に明快なお答えです。納得がいきました。
ただ、「濃度」という表現はどうも直感的になじめません。でも凄いことですね。こういうことを考えるから数学者はエライと思います。なんだか感動しました。疑問を持つのは大事なことですね。

回答No.2

pyon1956

無限を比較するときは1対1に対応させることができるかどうかで比較します。2nと3nでしたらちょうど1対1ですね。つまり濃度はおなじです。
カントールのいう無限どうしの大小（というか濃度の大小なのですが）はたとえば自然数全体と実数全体の場合が違う濃度です。
一般にｎと２＾ｎは濃度が違うことが知られています。

お礼

お答えありがとうございます。m(__)m
濃度が同じということは、つまり、同じ大きさであるということでしょうか？2nも3nも自然数ですから同じ大きさだと言うことでしょうか？答えとしては、2の倍数も3の倍数も同じ大きさで同じ多さであると考えても良いでしょうか？
これが、もし、nが自然数じゃなくて実数だったらどうなるのでしょうか？あああああ分かんなくなってきたぞ！（＾＾ゞ？？？？

回答No.1

you0430

全くの素人ってかただの高校生ですが、

3n-2n=n(3-2)=n*1 nは自然数よりn>0
よって3n-2n=n>0より3n>2n

とかじゃダメですかね？笑

両方nなので明らかに3nの大きいような気がします。

もうホントのど素人な意見でごめんなさい。
専門の方にお任せします。

お礼

お答えありがとうございます。m(__)m
私も３の倍数の方が多いような気もするのですが、兄貴が違う！っていうんですよね。カントールは、無限を考えているうちに頭がおかしくなったって聞きました。あまりこんな疑問を持たない方が良いのかも。

補足

すみませんm(__)m
3の倍数の方が多いんじゃなくて2の倍数の方が多いんじゃないかと思いますでした。(^^ゞ誤ります。m(__)m