双子素数予想の類似、算術級数定理の類似

質問

素数を小さい順にp(1),p(2),,,とします。

{p(m)-p(n)|m>n}、
{p(m)+p(n)|m≦n}、
{p(m)+p(n)|m＜n}、
{p(n+1)-p(n)|nは自然数}、
{p(n+1)+p(n)|nは自然数}、
などを考えます。

目的は、素数に関する様々な定理や予想をそれらで言い換えたいのです。

双子素数は無限個ある（双子素数予想）
⇔{p(n+1)-p(n)|nは自然数}において、p(n+1)-p(n)=2となるnは無限個

♯そうすると疑問に思うのは、
たとえば{p(n+1)-p(n)|nは自然数}のある偶数の元について、それを満たすnが有限個のものは存在するのでしょうか？

初項aと公差dが互いに素であるような等差数列のなかに素数が無限に存在する(算術級数定理)
⇒{p(m)-p(n)|m>n}において、p(m)-p(n)="dの倍数"となる(m,n)は無限個

♯そうすると疑問に思うのは、
たとえば{p(m)+p(n)|m>n}において、p(m)+p(n)="dの倍数"となる(m,n)は無限個でしょうか？

♯これはd=2であれば明らかに正しそうです。
d=3とかのときはどうなのでしょう？

♯さらに、2つの合成数の差の集合、または、和の集合とかを考えたときに、成り立つ定理、予想される事実はあるのでしょうか？

♯こういった言いかえができる定理とかは他にありますでしょうか？

回答No.3

totoro7683 · ベストアンサー

下のサイトに素数に関していろいろなことが書いてあります。
http://primes.utm.edu/
最近素数の最大記録が更新されたようです。９８０万桁以上だそうです。このサイトによると
p(n+1)-p(n)=２ｋとなる素数があるかは未解決です。

またゴールドバッハ予想は１７より大きい整数は３つの異なる素数の和にかけることと同値だそうです。

参考URL：

http://primes.utm.edu/

回答No.1

Tacosan

p(m) + p(n) が d の倍数となる m, n の組が無限個あることは, 算術級数定理から明らかなような....
a と d が互いに素なら d-a と d も互いに素なので, 数列 { a + nd }, { (d-a) + nd } はどちらも無限に多くの素数を含みますよね?