∞は数字ではなく文字だと習いましたが

質問

0には「極限値が0になる数（微分の定義式の分母のように）」と「絶対的な0」の2種類があるように、「絶対的な無限大」を考えることはあるのでしょうか？また、そのような数は実数の集合には含まれないんですよね？

回答No.1

crooked_man · ベストアンサー

ちょっと絶対的な無限大、という言葉を間違って解釈してしまったかもしれないですが、回答してみます。

大学で集合論というのをやると、無限を数として扱って演算をしたりします。

すべての自然数よりも大きい最初の無限大をアレフ・ゼロといいます。（本当は記号で書くのですがインターネットでは表示できないので、、、）簡単に言えば、アレフゼロ＝{0,1,2,3,4......}です。（0も自然数とします。）

もちろん、実数の集合には（要素としては）含まれないです。

無限大には、数を数えられる無限と数えられない無限があり、数えられない最初の無限大をアレフ1（または単にアレフ）といいます。たとえば、机の上にある点全体の数はアレフ個ですが、宇宙に存在する石の数はアレフ・ゼロ個です。（宇宙がどこまでも続くとしてですが）

数学的には、どんな無限大よりも大きな無限大を作れることがわかっているので、アレフ2、アレフ3、......、アレフ・アレフゼロ（アレフゼロ番目のアレフ）、......、アレフ・アレフ......というように続きます。

アレフ・ゼロ以上の数で足し算や掛け算をすることもできて、たとえば、100×アレフ・ゼロは意外にもアレフ・ゼロになります。でも、アレフゼロ×100は、アレフゼロ100という数になります。

こういうのは、超限順序数というので、興味があったら、その言葉で調べてみるといいかもしれないですよ。（あんまり、くわしいのはないんですけど。）「濃度」とも言うので、そのほうがたくさん調べられるかもしれません。

お礼

やはりそういう考え方もあるんですね～。とても分かりやすい説明、ありがとうございました。

回答No.2

Ryou29

実数を拡張した複素数a+ibの世界では0、ゼロを北極点とすると、南極点に対応する点を、infinity, 無限遠点と呼び、よく使いますよ。このとき、-0と+0とが同じように
　　　-infinity = +infinity
なんですよ。つまり同じ点ということです。これは複素数をほんのちょっと拡張した数の世界で、複素球面と呼ばれていますよ。複素数の世界はこのように、大きい・小さい　という区別の普通の考え方が通用しない世界なんですよ。。

　将来チャンスがあったら挑戦してみてね。。