この数字の問題を教えてください

質問

(1)循環小数x=0.312312312…を等比数列の無限和とみなして表現しなさい。
(2) (1)で表現した式の第１項から第ｎ項までの和の式を求めなさい。
(3) (2)で求めた極限をとって、(1)のxを分数で表現しなさい。

回答No.1

noname#227255

(1)
初項0.312、公比10^(-3)の等比数列であるから、
一般項an=0.312[10^{(-3)(n-1)}]
(2)
0.312{1-10^(-3n)}/{1-10^(-3)}
=0.312{1-10^(-3n)}/(999/1000)
=104{1-10^(-3n)}/333
(3)
極限をとると、10^(-3n)=0になるので、x=104/333