集合と論理

質問

nを自然数とし、xを実数とする。
命題「-n≦x≦2nならばｘの二乗-6x-16≦0」を考える。
この命題が真となる自然数nは、全部で？？個存在する。
また、この命題の逆が真になるためのnの条件は、n≧？？である。

申し訳ないですが、分かりやすい解説をお願いします。

回答No.2

k3eric · ベストアンサー

P：-n≦x≦2n, Q：xx-6x-16≦0
命題 P⇒Q

Q：xx-6x-16≦0　⇔　(x-8)(x+2)≦0　⇔　-2≦x≦8
つまり、命題は
-n≦x≦2n　⇒　-2≦x≦8
を満たす自然数nを求めれば良いから、n=1, 2の時のみ。∴個数は２個

（P⇒Qと言う事は　P⊂Qでなくてはならない　例えばn=2の時はP:-2≦x≦4で満たしているが、n=3の時はP:-3≦x≦6でこれを満たさなくなるのでn=1,2の時のみになる）

逆はP⇐Q　つまり　Q⇒P　だから
-2≦x≦8　⇒　-n≦x≦2n　
になり　Q⇒P　を満たすには　Q⊂P　。
つまり　PはQと同じ、またはそれより広くないといけないから
"-n≦-2　かつ　8≦2n"　⇔　"2≦n　かつ　4≦n"　なので
∴4≦n

（Q：Q0≦x≦Q1、P：P0≦x≦P1として　
Q⊂P　⇔　P0≦Q0　かつ　Q1≦P1）

回答No.6

stomachman

「集合と論理」なるタイトルに引っ掛かりました。（内容は高校数学だけど、もしかして大学でやってたりするんでしょうか？）

● 問題の「命題」は命題になっていない。自由変数n, xが残っているから、実はこれは述語
　　P(n,x) : n∈N∧ x∈R ∧ ((-n≦x ∧ x≦2n) ⇒ x^2-6x-16≦0)
のことだな、と読み替えねばならない。
　こんなことじゃ「集合と論理」なる看板がスタル。

● 「この命題が真となる自然数n」もおかしな話で、述語
　　Q(n) : ∀x P(n,x)
が真になるようなnを指しているんだろうな、と読み替えねばならない。そういうnの集合をXとすると
　　　X = {n | ∀x Q(n)}
であり、Xの濃度(要素の個数)を求めるという問題。
　こんなことじゃ「集合と論理」なる看板がスタル。

● 「逆」というのは
　　　S(n,x) : n∈N∧ x∈R ∧ (x^2-6x-16≦0 ⇒　(-n≦x ∧ x≦2n))
のこと。問題が求めている「真になるためのnの条件」をn≧tとすると、（必要十分条件とは限定していないのだから、）これは十分条件という意味でなくてはならない。つまり、
　　　Y = {t | t∈R ∧ (n≧t ⇒∀x S(n,x))}
の要素ならどれでもいい。
　既に出ている回答によればn≧4が必要十分条件らしいんで、だったら、
　　　Y = {t | t∈R ∧ t≧4}
（つまり「？？≧4」）が答。
　というのでなくちゃ「集合と論理」の看板がスタル

と思うんですけどぉ

回答No.5

genshisyounen

No.4の回答ですが、５行目に誤りが有りましたので、訂正します。
（訂正前）
2≦x≦8をAとして、真偽を表にすると、下記のとおりになります。
（訂正後）
-2≦x≦8をAとして、真偽を表にすると、下記のとおりになります。
また、表が見にくくて申し訳ありません。
n...............1...............2............... 3............... 4...............5...............6・・・・
-n.............-1.............-2.............-3..............-4..............-5..............-6・・・・
2n.............2................4...............6...............8...............10............12・・・・
A..............真..............真.............偽.....,........偽..............偽............偽・・・・

回答No.4

genshisyounen

ｘの二乗-6x-16≦0の式を因数分解すると、
x^2-6x-16=(x-8)(x+2)≦0となり、この条件を満たすxの範囲は
-2≦x≦8です。
つまり、命題「-n≦x≦2nならばｘの二乗-6x-16≦0」が真となる自然数nを求めるという問題は、「-n≦x≦2nならば-2≦x≦8」となるnを求めることに置き換えが可能です。
2≦x≦8をAとして、真偽を表にすると、下記のとおりになります。
n 1 2 3 4 5 6　・・・・
-n -1 -2 -3 -4 -5 -6　・・・・
2n 2 4 6 8 10 12　・・・・
A　　真　 真　 偽　 偽　　偽　　偽　・・・・
この表は、「n=1の時、-n=-1,2n=2であり、xは-1から2の範囲になるが、-2≦x≦8の範囲内におさまっているので真である」というように見ます。
一方、「n=3の時、-n=-3,2n=6であり、xは-3から6の範囲になるが、-2≦x≦8の範囲内におさまっていないので偽」となります。
よって、答えはn=1,2の２個です。

この命題の逆は「ｘの二乗-6x-16≦0ならば-n≦x≦2n」であり、これが真となるnを求めることとします。
これも、「-2≦x≦8ならば-n≦x≦2n」となるnを求めるという問題に置き換え可能です。
xの範囲の両端にある-2と8に注目してみましょう。
x=-2の場合、-n≦x≦2nを満たす自然数nは2以上であることがわかります。
（n=1の場合は、-n≦x≦2nが-1≦x≦2となり、x=-2の条件に適合しません。）
次に、x=8の場合は、-n≦x≦2nを満たす自然数nは４以上であることがわかります（n=1,2,3は不適合）。
つまり、逆の命題をみたすnはn≧4となります。
n 1 2 3 4 5 6　・・・・
-n -1 -2 -3 -4 -5 -6　・・・・
2n 2 4 6 8 10 12　・・・・

回答No.3

alice_44

← A No.2 : 業務連絡
論理式 P⇒Q のことを P⊃Q と書く記号法も存在するので、
(Pが成り立つようなxの集合)⊂(Qが成り立つようなxの集合)
という意味で P⊂Q と書いてしまうのは、混乱のもと。
P, Q は、集合ではなく、あくまで論理式の名前だから…

回答No.1

某HN クロメート(Chromate)（@CoalTar）

自然数の意味は分かりますよね
因数分解すればよいと思います。
全部で8個かな？

>また、この命題の逆が真になるためのnの条件は、n≧？？である。
逆の意味がよくわかりません。
グラフをヒントにして考えてください