否定文の書き方

質問

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「すべての自然数（正の整数）nに対し命題P(n)は成り立つ。」 --- (A)
この文の否定文は、
「ある自然数nに対し命題P(n)は成り立たない。」 --- (B)
である。約４割の大学生が誤ってしまった。

----（『数学的思考法』（芳沢光雄著）から）

AがBの否定文というのは、理解出来ますが、こうも考えてしまいました。
「すべての自然数（正の整数）nに対して命題P(n)は成り立たない」 --- (C)
「ある自然数（正の整数）nに対して命題P(n)は成り立つ」 --- (D)
上記２つ（C, D）は、否定文ではないのでしょうか。
数学は苦手でしたので、わかりやすくお願いします。

回答No.3

asuncion · ベストアンサー

(A)を否定するには、反例が1個でもあればOKです。
「反例が1個でもあれば」を的確に表わしているのは、(B)だけです。

(C)：反例の範囲が広すぎる。1個だけでじゅうぶん。
(D)：文末が「成り立つ」では、(A)を否定することになっていない。

お礼

回答ありがとうございます。

＞(A)を否定するには、反例が1個でもあればOKです。
わかりやすいです。１個でも反例があるということは、（A）の文は、真じゃないってことなんですよね。

＞(D)：文末が「成り立つ」では、(A)を否定することになっていない。
(D)は、書いた後に、おかしいことに気づきました。否定すらしてないですね。すみません（笑）

文字を機械的にただ、「すべて」を「ある」にかえて「～である」を「～でない」と変えればいいという方法論に疑問を感じていたので、とても参考になりました。

回答No.2

aries_1

否定文と言われれば、否定にできる箇所は全て否定文に変えなければなりません。

「すべての」の否定は「ある(一つの)」であり、「成り立つ」の否定は「成り立たない」です。

質問に書かれていたCとDは、部分的には否定になっていますが、全てが否定になっていないので、「数学用語」の否定としては不適当です。

お礼

回答ありがとうございます。否定という文字が入っている部分否定は、数学的には否定じゃないということですか？

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

∀n,P(n) ・・・(A)
この否定は
￢(∀n,P(n))
=∃n,￢P(n) ・・・(B)

(C)は ∀n,￢P(n)
(D)は ∃n,P(n)

(C)と(D)は、全体を否定していない。

お礼

回答ありがとうございます。