数学「集合と論理」の問題が分からないです。

質問

m、nを整数とします。次の命題の対偶をつくってください。また、その真偽を調べてください。
（１）m^2+n^2が奇数ならば、m、nの少なくとも一方は偶数である。

よろしくお願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

命題「pならばq」の対偶は、「qでないならばpでない」です。
命題「pならばq」の真偽は、対偶「qでないならばpでない」の真偽と一致します。

逆・裏・対偶の具体的な内容と各々の関係について、
教科書や参考書でよく確認してください。必ず載っています。

今回の、「m^2+n^2が奇数ならば、m、nの少なくとも一方は偶数である」という命題の真偽を
調べるために、対偶の真偽を調べることにします。
対偶は、「m、nがともに奇数ならば、m^2+n^2は偶数である」です。
ここも、なぜそうなるのか、教科書や参考書でよく確認してください。

奇数は、2で割ると1あまる数のことです。一般には、2a+1と書けます。そこで、
m=2a+1
n=2b+1
ただし、a≧0、b≧0
とおきます。このとき、
m^2+n^2
=(2a+1)^2+(2b+1)^2
=4a^2+4a+1+4b^2+4b+1
=2(2a^2+2b^2+2a+2b+1)
となり、「2×何とか」の形をとっていますから、偶数です。
よって、
命題「m、nがともに奇数ならば、m^2+n^2は偶数である」は真であることが証明できました。
さきに説明したとおり、ある命題の真偽はその命題の対偶の真偽と一致します。
よって、もともとの命題「m^2+n^2が奇数ならば、m、nの少なくとも一方は偶数である」は
真であることが証明できました。

上記の説明をよく読んで、理解してください。

お礼

ありがとうございます。
助かりました。