もうすぐテストなのに・・・

質問

実数ｘ、ｙで　x^2＋2xy＋4y^2＝9　が成り立つとき、x－2yのとりうる値の範囲を求めてください。
実数条件がうんぬんと聞きましたが何をしてよいのかわかりません。
よろしくおねがいします。

回答No.6

kansai_daisuki · ベストアンサー

>D/4=16k^2-16(k^2+2k-m)
>になりますよね・・・？
>そうするとm≧2kになって、最大値がないような気がするのですがいいのでしょうか。

これは、

>ここで、この不等式の定義域kは、
>－6≦k≦6より、、、

と書いたように、kの範囲が限定されているため、最大値と最小値は共に存在します。

回答No.5

kansai_daisuki

>D/4=16k^2-16(k^2+2k-m)
>になりますよね・・・？
>そうするとm≧2kになって、最大値がないような気がするのですがいいのでしょうか。

これは、

>ここで、この不等式の定義域kは、
>－6≦k≦6より、、、

と書いたように、kの範囲が限定されているため、最大値と最小値は共に存在します。

回答No.4

kansai_daisuki

すみません。

-6≦k≦6
です。打ち間違えました。。。

お礼

焦りました（＾＾；

回答No.3

kansai_daisuki

m=(k+4y)^2+2kとおくと、
16y^2+8ky+(k^2+2k-m)=0

D/4≧0としてyの実数解を求める。
D/4=16-16(k^2+2k-m)
これがD/4≧0なのだから、
1-k^2-2k+m≧0
⇔
m≧k^2+2k-1
ここで、この不等式の定義域kは、
－6≦k≦6より、、、

として、ここからは、
mを求めるのはカンタンですよね。

補足

D/4=16k^2-16(k^2+2k-m)
になりますよね・・・？
そうするとm≧2kになって、最大値がないような気がするのですがいいのでしょうか。

回答No.2

kansai_daisuki

>実数ｘ、ｙで　x^2＋2xy＋4y^2＝9　が成り立つとき、x－2yのとりうる値の範囲を求めてください。

k=x－2yとおくと、
kの範囲を求めればいいのです。

x^2＋2xy＋4y^2＝9
⇔(x-2y)^2＋6xy＝9
⇔k^2＋6(k+2y)y＝9

このyが実数解を持つのですから、
D/4≧0を求めれば良い。

答えはココ。↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
答え：-6<k≦6

お礼

ありがとうございます。
なぜ-6のところは＝がつかないのか教えてもらえるとたすかります。

回答No.1

springside

x-2y=kとおきます。

すると、x=2y+kです。
これを、x^2＋2xy＋4y^2＝9に代入する（xを消す）と、yだけの２次式になります。

それをyの２次方程式とみて、実数解を持つ条件（つまり、判別式≧0）を作ってやれば、kの範囲が求まります。

補足

kとおくのですか、思いつきませんでした。
やってみたところ－6≦k≦6　になりました。

（x＋2y）^2＋2（x-2y）の最大値・最小値も求めなければならないのですが、
（k＋4y）^2＋2kとするとyが消えませんよね・・・
どうすればよいのでしょうか？