分からないんです!!

質問

高校の宿題なんですけど、
実数ｘ、ｙがｘ＾2+ｘｙ+ｙ＾2＝3を満たしていて
ｕ＝ｘ+ｙ、ｖ＝ｘｙとするとき、
１．ｖをｕの式で表す
２．ｕのとりうる値の範囲は？
３．ｘ+ｘｙ+ｙのとりうる値の範囲は？
一週間ず～っと悩んでるんですけど、１．はかろうじて解けても２．３がまったく分かりません。
ちなみに１．の解は
ｖ＝ｕ＾2-3であってるでしょうか？

回答No.2

wataken44 · ベストアンサー

1歩遅かったか・・・

ポイントと回答を載せときます。できればポイントだけ見て自分で解いた方がいいかと。

ポイント
1.v=u^2-3であってます。

2.
x・yが実数より、tに関する二次方程式
　t^2-(x+y)t+xy=0
は、実数の２解を持たねばならない。（っていうか、実数xと実数yが解）
判別式を取りましょう。
vとuに関する条件式がでるので、1の結果を用いてuだけの２次不等式にできます。解きましょう。

3.
1.の結果を用いてx+xy+yをuだけの式にできます。
2.の範囲での最大最小を求めます。

回答
1.式の変形
与式より
　x^2+xy+y^2-3=0
　(x+y)^2-xy-3=0
　u^2-v-3=0
　v=u^2-3

2.とりうる範囲
u=x+y v=xy 、x・yが実数より、tに関する二次方程式
　t^2-ut+v=0
は、実数の２解を持たねばならない。（ここ大事）
　D=u^2-4v=(x+y)^2-4xy=(x-y)^2>=0
　v<=(u^2)/4
この式に1.の結果を代入して、
　u^2-3<=(u^2)/4
　u^2<=4
　-2<=u<=2

3.値の範囲
　x+xy+y=u+v=u^2+u-3=(u+1/2)^2-13/4
従って f(u)=(u+1/2)^2-13/4の-2<=u<=2での増減を調べればよい。（以下省略）

お礼

どうもありがとうございました(^^)
この問題って９８年の某大学の入試問題だったんですね・・・。
さっき自分の問題集で発見しました。
１週間悩んでた私って一体・・・。
でもその問題集の回答が略解だったので、詳しく分かってよかったです☆

回答No.1

ONEONE

xとyを入れ替えても変わらない式を対称式といいます。
対称式は基本対称式、x+y,xyの２つを用いて表せます。
ｘ＾2+ｘｙ+ｙ＾2＝3
(x+y)^2-xy=3
u^2-v=3
ということで1はあってますね。

（２）
x,yはtの２次方程式の解だから次のように表せて
t^2-ux+v=0
tは実数だから
u^2-4v≧0
v≦-u/2，u/2≦v
v=u^2-3だから
u^2+u/2-3≦0,u^2-u/2-3≧0
コレをといてください。

（３）x+xy+y＝u+v（＝kとおく）
縦軸にvを横軸にuをとってグラフを描いてみましょう。

v=u^2-3・・・・・１
v=-u+k（kはｙ切片）・・・２
uの(2)で求めた範囲。・・・３

でkのとりうる値を求めましょう。
（１と２の３の範囲で交わるようなkの値）

お礼

ありがとうございました。
やっぱり数学って解けると面白いけど、それまでが大変ですね。。
とても詳しい解説ありがとうございます!!