論理的な人たのみます。

質問

すべての実数x,yに対して、x^2-2(a-1)xy+y^2+(a-2)y+1≧0・・・(1)が成り立つような実数の定数aの値の範囲を求めよ。
という問題の解答が
(1)がすべて実数xに対して(1)が成り立つために、
D/4=a(a-2)y^2-(a-2)y-1≦0・・・(2).
ここで(2)がすべての実数yに対し(2)が成り立つ範囲を求めればよい。
、
、
、
とあるのですが、なぜすべての実数yに対し(2)が成り立つことで、すべての実数yに対して(1)が成り立つことになるのですか？

回答No.5

gohtraw

＞(1)がすべてのxについて成り立つ<=>(2)がすべてのyについて成り立つ
それは必要十分条件ということを言い換えているだけで、理由の説明にはなって
いません。

順序を追って考えましょう、初めの不等式
x^2-2(a-1)xy+y^2+(a-2)y+1≧0・・・(1)
は、aやyの値によっては成り立たないこともあるわけですが、そこに
「すべての実数ｘについて成り立つ」という条件を付けるために
a(a-2)y^2-(a-2)y-1≦0・・・(2)
という不等式を立てた訳です。つまり条件を追加してaやｙの範囲を絞り込もうと
しているわけですから、
「（１）が成り立つ」ということと、「すべての実数ｘについて（１）が成り立つ」
ということは同値ではありません。

これと同様に、（２）はaの値によっては成り立たないこともあるわけで、そこに
「すべての実数ｙについて成り立つ」という条件を追加してaの値を絞り込もう
として
(a-2)^2+4a(a-2)<=0　・・・（３）
という不等式を立てる訳です。ここでも条件が追加されているので、
「（２）が成り立つ」ということと「すべての実数ｙについて（２）が成り立つ」という
ことは同値ではありません。

回答No.4

gohtraw

＞(2)がすべてのyについて成り立つことは(1)がすべてのxについて
＞成り立つ必要十分ですよね？

そう考える理由は何でしょうか？ そして、もしそうだとしたら、それをもって
何を言いたいのでしょうか？

十分条件ではあっても必要条件ではないと思いますが。

補足

(1)がすべてのxについて成り立つ<=>(2)がすべてのyについて成り立つ<=>2/5≦a≦２
ということです。違いますか？

回答No.3

noname#221368

#1です。

　まず前回、

　　y＝x^2-2(a-1)xy+y^2+(a-2)y+1

と書いちまいましたが、

　　z＝x^2-2(a-1)xy+y^2+(a-2)y+1

とでもすべきでした。y＝では、式の意味が変わってしまいます。でも了解はして頂けたと思います(^^;)。

＞でもすべてのyで(2)が成り立つaの範囲だからといってといってすべてのyで(1)が成り立つaの範囲だってことにはならないと思うのですが...

　それを納得するには、最もスマートには#2さんの論理を理解する事です。#2さんの論理を地を這うように具体的にやってみたのが、前回の私の記述です。自分としては、これ以上の事は、ちょっと思いつけません。

＞それに関係のあると思う疑問なのですが、すべてのyについて(1)が成り立つ条件って、(1)をyについて整理した式からD=4{(a-1)^2-1}x^2-4(a-1)(a-2)x+(a-2)^2≦0・・・(3)であることでしょう？

＞・・・、(3)<=>((2)がすべてのyについて成り立つ条件)ということになってやはりおかしい・・・

　(3)の左辺のケツに、「－4」が抜けています（検算してみて下さい）。また「(3)<=>((2)がすべてのyについて成り立つ条件)」ではなく正確には、

　　　・(3)がすべてのxについて成り立つ条件　⇔　(2)がすべてのyについて成り立つ条件

ですよね？。そこはOKですか？。

　では実際にやってみますか（ちょっと大変だった(^^;)）。それが添付図です。

　・・・という訳で、どちらでやっても同じ結果、

　　(a－2)(5a－2)≦0

が得られます。

　どうしてか？。2次関数に対して判別式を用いる方法は機械的に答えを出せるので、ある意味とても賢い方法です。しかし論理に頼り切った方法でもあるので、間接的でわかりにくい方法ではあります。

　以下では、少し想像の翼を広げて下さい。

　x^2-2(a-1)xy+y^2+(a-2)y+1≧0　が任意の(x，y)で成り立つという事は、2変数関数、

　　f(x，y)＝x^2-2(a-1)xy+y^2+(a-2)y+1　　　　(4)

の最小値が0以上という事です。f(x，y)の値は、3次元座標(x，y，z)のz方向にプロットするとします。そうするとf(x，y)は3次元空間に、ある曲面を描く事は想像できるでしょうか？。

　2変数関数の最小値を直接求める方法は、もちろんあります。ありますがそれは、高校数学の範囲外になります。そこでどうするかと言うと、曲面を断面で切って最小値を探す、という手段に訴えます。

　(4)をxの関数と考えるとは、とりあえずyを固定して考えるという事です。固定されたyにおける断面上に現れる曲面の切り口（断線？）が、

　　g(x)＝x^2-2(a-1)y・x+y^2+(a-2)y+1　　　　(5)

だという訳です。g(x)はもちろんパラメータyの値によって形を変えますから、やはりf(x，y)と書くべきなのですが、yを固定して考えている事を強調したくて、gy(x)などと書きます。

　gy(x)は普通のxの2次関数です。その最小値は、添付図のD1の値の符号を変えたものです。それは常に0以上である必要があります。

　次にD1をyの関数とみるとは、各断面のgy(x)の最小値を、パラメータyで並べてその中の（D1(y)の）最小値をみつければ、全体の最小値に違いないという考えです（大丈夫ですか？）。

　D1(y)の最小値は実質的にD1’の値です（符号は、a(a－2)の正負で決まる）。いずれにしろD1(y)の最小値も0以上にしたいから、判別式としてのD1’は0以下でなければならない（ここまで大丈夫ですか？）。

　以上の方法は、x方向の断面hx(y)を考えてもやれます。そして結果は一致します。

　なぜなら求めたものは、曲面f(x，y)全体の最小値だからです。xにもyにも影響されず、aのみの条件になるのは明らかですよね？

　・・・大丈夫ですか？(^^;)。

回答No.2

gohtraw

（２）は、全ての実数ｘについて（１）が成り立つ条件なのだから、
（２）の不等式を立てた時点で「すべての実数ｘについて(1)が
なりたつ」ということは達成されています。

そのうえで、全ての実数ｙについて（２）が成り立つ条件を求める
のだから、それは、
「すべての実数yについて」かつ「すべての実数xについて」
（１）が成り立つ条件をもとめていることになります。

補足

わからないです。(2)がすべてのyについて成り立つことは(1)がすべてのxについて成り立つ必要十分ですよね？

回答No.1

noname#221368

(1)より、

　　y＝x^2-2(a-1)xy+y^2+(a-2)y+1　　　(1’)

とおきます。任意の実数xに対して、

　　x^2-2(a-1)xy+y^2+(a-2)y+1≧0　　　(1)

という事は、(1’)のグラフが常にy軸より上にある、と言う事です。その条件は(1’)の最小値－D/4が、

　　－D/4=－a(a-2)y^2＋(a-2)y＋1≧0　　　(2’)

になるという条件で表せるので、結局、

　　D/4=a(a-2)y^2－(a-2)y－1≦0　　　　　(2)

です。ここまではたぶんOKなんですよね？(^^)。

　次に、もし全てのyで(2)が成り立たないなら、(2)が成り立たないy＝y0が存在する事になります。そのようなy＝y0を(2)に代入した場合、D/4＞0となり、グラフ(1’)は適当なx＝x0，x1でy軸と交わる事になります。そうすると、x0<x<x1を満たす任意のx＝x3で、

　　x3^2-2(a-1)x3y0+y0^2+(a-2)y0+1<0　　　(3)

となり、少なくとも(x，y)＝(x3，y0)で(1)は成り立たない事になります。

　一方、もし全てのyで(2)が成り立たつなら、どんなy＝y0を持ってきてもD/4≦0になるので当然、どんなxに対しても、

　　x^2-2(a-1)xy0+y0^2+(a-2)y0+1≧0　　　(3’)

が成り立ちます。(3’)においてxは任意であり、y0はなんでも良いのでした。これは全ての(x，y)で(1)（(3’)）が成り立つという事です。

　・・・で、(2)を任意のyで成り立たせるためには？。・・・同じ発想を使えばいいじゃないですか(^^)。

　ただしa＝0とa＝2の時は例外になるので、注意して場合分けしましょう(^^;)。

補足

すべてのyにたいして(2)が成り立つべきなのはわかりました。でもすべてのyで(2)が成り立つaの範囲だからといってといってすべてのyで(1)が成り立つaの範囲だってことにはならないと思うのですが...
さらに、それに関係のあると思う疑問なのですが、すべてのyについて(1)が成り立つ条件って、(1)をyについて整理した式からD=4{(a-1)^2-1}x^2-4(a-1)(a-2)x+(a-2)^2≦0・・・(3)であることでしょう？
ということは、すべてのx,yについて(1)が成り立つ条件<=>(2)かつ(3)<=>(2)かつ((2)がすべてのyについて成り立つ条件)
だから、(3)<=>((2)がすべてのyについて成り立つ条件)ということになってやはりおかしい気がします...