対数関数の問題

質問

0＜x, 0＜y, x≠1, y≠1とする。
不等式logxy-3logyx-2＜0を満たす点(x,y)の存在範囲を図示せよ。
（logxyはxが底、logyxはyが底です）

という問題がわかりません。
－1＜logxy＜3というのは出てきたのですがそこからさっぱりです。
よろしくおねがいします。

回答No.4

shkwta · ベストアンサー

No.3補足への回答です

y = 1 は（問題文にあるように）log_y xを定義できないため範囲から除かれ、
0＜x＜1のとき　0＜y＜x^2 または x＜y＜1 または y＞1
1＜xのとき　0＜y＜1 または 1＜y＜x または y＞x^2
となると思います。

お礼

あ、 x＜y＜1の＜1が抜けてたんですね。
ありがとうございます。

回答No.3

kougakubudesu

この問題は気をつけなければならないところがあります。logxy=tと置くと
t-３/t-２<０
となりますが、これはtに関する分数関数の不等式です。条件より,tは０以外の実数全てを取りうることができますので、

(i)両辺にt^２を掛ける。(両辺にtだけを掛けるとt<０かt<０で両辺の符号が代わるから)

(ii)t>０とt<０で場合分け(理由は(i)の通り)

のどちらかを考えなければいけません。すると
t<-１, ０<t<３
⇔logxy<-1, ０<logxy<３
⇔logxy<logxx^(-1), logx1<logxy<logxx^３ (A)
となります。((i),(ii)のどっちでも結果は同じです)
さらに(A)を簡単にしたいのですが、底xによって符号が代わります。ここからは頑張って下さい。

補足

回答ありがとうございます。

ところで、同じような問題
logxy+2logyx-3＞0を満たす点(x,y)の存在範囲を図示せよ。
を解いてみたところ範囲が
0＜x＜1のとき　x＜yまたはy＜x^2
1＜xのとき　y＜xまたはx^2＜y
となると思ったのですが答えが解答とあいません。（この問題は解答がついてました）
解説がないのでわからないのですが、どうして違うのかよければどなたか教えていただけないでしょうか。

回答No.2

shkwta

－1＜ log_x y ＜3
⇔-1＜(log y)/(log x)＜3

※logは常用対数でも自然対数でも（底が正なら何でも）よい

0＜x＜1（つまり log x ＜ 0) 　と 1＜x（つまり log x　＞ 0) に場合分けして

0＜x＜1のとき
-log x＞log y＞3log x
⇔(1/x)＞y＞x^3

1＜xのとき
-log x＜log y＜3log x
⇔(1/x)＜y＜x^3

お礼

場合分けですか、思いつきませんでした。
ありがとうございます。

回答No.1

kansai_daisuki

不等式logxy-3logyx-2＜0
⇔logxy-3logxx/logxy-2＜0
ここで、logx yをαとおくと、
⇔α-3/α-2＜0
⇔-1＜α＜3
⇔-1＜logxy＜3

までは分かってるんですよね。
なら、あと一歩（⇔x^-1＜y＜x^3）です。
頑張りましょう。

お礼

すばやい回答ありがとうございます。