背理法について

質問

背理法についてよくわからにので教えてください

証明の説明文に
"p→q"や"qである”が真であるこをいうためには、まず￣q
(qではない）と仮定して矛盾を示すと書いてありますが、これはどんな意味なんでしょうか？

何回も呼んだのですがよくわかりません。

お願いします

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

boku115さん、こんにちは。

＞"p→q"や"qである”が真であるこをいうためには、まず￣q
(qではない）と仮定して矛盾を示すと書いてありますが、これはどんな意味なんでしょうか？

背理法とは、証明したいことがらを、一旦否定して
「もし、～～じゃないとすると」矛盾が生じる、というところから
～～は成り立つ、とする証明方法です。

この参考URLの例題も、難しいですが
「猫は心臓を持つ」という命題が真であるという証明を、背理法でしよう、という試みです。

その前に
・猫は哺乳類である
・哺乳類は心臓を持つ
という条件がついているものとします。
この条件下で、

「猫は心臓を持つ」（すべての猫は心臓を持っている）を否定すると
「ある猫は心臓を持たない」（心臓を持たない猫がいる）となります。

心臓を持たない猫がいる→哺乳類ならば心臓があるはずなので、猫は哺乳類ではない、となる。
→最初の「猫は哺乳類である」とした仮定に矛盾する。

というわけで、「猫は心臓を持つ」という命題が真であることが証明されました。

少し、難しいと感じるなら、もう一つよく出る例として

「√２は無理数である」を背理法を使って証明しましょう。

「√２は無理数である」を否定すると「√２は有理数である」となります。

有理数ならば、ある規約分数で表されるので
√２＝ｐ/ｑ（ｐ、ｑは互いに素）
と書けます。

両辺２乗して、
２＝ｐ＾２/ｑ＾２
２ｑ＾２＝ｐ＾２

ここで、左辺は２の倍数なので、ｐ＾２が２の倍数でなければいけません。
ということは、ｐは２の倍数です。ｐ＝２ｍとします。

このとき、
２ｑ＾２＝ｐ＾２＝（２ｍ）＾２＝４ｍ＾２
となるので、
２ｑ＾２＝４ｍ＾２
ｑ＾２＝２ｍ＾２
となりますから、ｑ＾２もまた２の倍数、つまりｑも２の倍数でなければいけません。

ｐ：２の倍数
ｑ：２の倍数
ということになり、ｐとｑが互いに素である、ということに矛盾します。

よって背理法により√２は無理数であると証明されました。

これらのように「証明したい結論をまず否定して、そこからおかしくなることを導き出せば
証明したい結論が正しいと、証明される」
という方法を、背理法といいます。

http://bruch.sfc.keio.ac.jp/course/IM2-01/12kai/tsld034.htm

参考URL：

http://bruch.sfc.keio.ac.jp/course/IM2-01/12kai/tsld034.htm

回答No.5

Mell-Lily

背理法は、間接証明法と呼ばれます。￢Aと仮定して、矛盾が生ずるならば、￢Aではあり得ない、という論理です。

回答No.4

kiriburi

（p→qまたはp→￣q）は常に真ですね。
例：boku115は学生である，またはboku115は学生でない。……これは、boku115が学生であっても、学生でなくても真ですよね。
ここで、"boku115は学生でない"ことが"真でない"ことがいえると、"boku115は学生である"ことが真だといえる。

数学っぽい例：
1，2，3，…と続く自然数が無限にあることの証明を背理法でする。

（自然数が無限にあるをまず否定し）
"自然数は有限個である"と仮定する。

有限個ならば自然数の最大値Ｍが存在する。
ところが、Ｍ＋１は自然数でありＭより大きい。
"自然数の最大値Ｍが存在する"に矛盾する。
"自然数は有限個"とした仮定は真ではない。

"自然数は有限個または自然数が無限にある"は常に真であるから、"自然数は有限個"は真ではないとすると"自然数が無限にある"は真になる。

回答No.3

gogokurono2003

背理法とは♯１さんが言ったとおり
「Ａが存在することはあり得ない」といったようなことを証明するために使います。
手元にある参考書の例題で説明しますと

「√２＋√３は無理数であることを証明したい」
という問題があるとします。このとき
「無理数である」ということを証明することができればそれが一番いいのだけれど、それは難しい。
でも「有理数でない」ということを証明できれば、それは「無理数である」ということがいえますね？

そこで使うのが背理法です。そこで「証明しようとする事柄が成り立たない」ということを仮定して、その仮定をしたことの矛盾を見つけ、「成り立たない」ことが矛盾するのだから（＝成り立たないことがあり得ない！ということだから）それは成り立つんだ、ということを証明します。
「～でないこと」「少なくとも一つは～」を証明しろと言った問題で多く使われるようです。そこら辺は解いていくうちに身に付くでしょう。

問に戻ります。
「√２＋√３は無理数でない」ということを仮定すると、つまり今仮定した中では「√２＋√３は有理数である」ということですね？
そこで　√２＋√３＝aと置くと　√３＝a－√２と変形できますね？
両辺を２乗して
３＝（aの２乗）－２√２×a＋２
よって
√２＝｛（aの２乗）－１｝/２a

（aの２乗）－１　と　２a　　（最初に√２＋√３は有理数だと仮定しているので）は有理数であるからこの考えで行くと√２が有理数だと言うことになってしまう。√２はどうあがいたって無理数なのだから有理数ではない。だから、この仮定をしていると
√２が無理数であるということに矛盾しているわけです。
そのことが矛盾していると言うことはつまりこの仮定自体が矛盾（ありえないことだ！！ってこと）していると言うことなので、「√２＋√３は無理数であることがいえた」

こんな感じで使います。わかりにくくてごめんなさい・・・

回答No.1

humihiro2003

例えば、
「犬は、動物である。」
を背理法で証明するために、
「犬は、動物でない。」
と仮定して、矛盾を示すということです。
「犬は、動物でない。」を矛盾していると示せたら、
「犬は、動物である。」とハッキリと言えますよね。