2次関数の問題

質問

問題集の問題がどうしても解けません。

a，bを整数とする。放物線y＝x^2＋2（a－b）x－2ab＋a－b＋1/2がx軸と共有点をもたないような点（a，b）の個数を求めよ。

a^2＋b^2－a＋b－1/2＜0となるところまではわかるのですが、そこからどうすればよいのでしょうか。
よろしくおねがいします。

回答No.3

yumisamisiidesu · ベストアンサー

ポコさん、こんにちは
私の回答一応、正解だと思いますが
一様の理解しやすいご回答だけ参考にして下さい
私の回答、純代数的で、数学的には厳密ですが、
高校数学でそこまでの厳密さは要求されません
それに、あまり、スマートなやり方とは思えません
場合分けも多いし、何だか計算が煩雑だし

強いて言うなら、私の回答から学んで欲しいことは
正数や自然数は和・積に閉じていることです
また、二つの数を足して０以下になるなら、
どっちかあるいは両方ともゼロ以下でなければなりません
主にその特徴を生かした回答ともいえます

お礼

整数の問題はとても頭を使う気がします。

この間「1から100までの整数で正の約数を3個もつものはいくつあるか」みたいな問題を、慌てていて間違えてしまいました。
不等号にもよく「＝」を付け忘れるときがあります。
なんかレベルが低いですが、厳密さが足りないなあと感じていました。（というよりはうっかりミスが多い・・・）

高校で周りにいる人は、いつも数学のテストの前、範囲のページの問題をやり方だけ覚えています。
数学が少し好きなので、必死に式を暗記している姿を見るとなんだか悲しくなります。

話がずれてしまいましたが、また質問することがあると思うので、その際はよろしくお願いします（＾＾）

回答No.2

yumisamisiidesu

a^2＋b^2－a＋b－1/2
=a(a-1)+b(b+1)-1/2<0
同値
a(a-1)+b(b+1)=<0(∵a,b:integer)
直ぐ上式の左辺を(*)とする
(1)a(a-1)<=0となる場合を求める
a=1,0の場合だけ
(2)b(b+1)<=0となる場合を求める
b=0,-1の場合だけ
(A)
(a,b)=(0,-1)then(*)=0…OK
(a,b)=(0,0)then(*)=0…OK
(a,b)=(1,-1)then(*)=0…OK
(a,b)=(1,0)then(*)=0…OK
故に4個
途中からは、もう場合わけで一個一個調べてましたね

お礼

a(a-1)とb(b+1)は必ず0以上の整数になり、0のときに成り立つんですね。
ありがとうございます。

回答No.1

omoidasu

その式を変形したら見えてくる。
(a-1/2)^2+(b+1/2)^2<1
つまり、点(a,b)は点(1/2,-1/2)を中心とし、半径１の円の内部（境界は含まない）の点である。
あとは、a,bが整数であるという条件を考慮すればよい。

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど、円のグラフを利用するのですね。