漸化式

質問

a[n]はaの添字がnであることを意味します。
{a[n]}=1/(2+a[n-1])のとき
lim(n→∞)a[n]を求める問題です。

等差でも等比でも階差でもないし・・・。
よろしくお願いします。数検１級の過去問です。

回答No.1

nagata20000 · ベストアンサー

a[1]は何なのでしょうか。
まあ収束するとすればa[n]=a[n-1]がなりたつので
a[n]=a[n-1]=xとおくと
x=1/(x+2)をとけばいいんでしょうがこれをとくと
x=-1±√2
xは正になりそうなので
x=-1＋√2ということになりそうですが。

お礼

a[1]=1/2です。忘れてました(^^;;
特性方程式を解くのですね。。
ありがとうございました。

回答No.4

yaksa

√２の連分数展開ですね。
収束することを示すには、
「縮小写像の原理」を使うのが最も簡単だと思います。
nが奇数と偶数の場合にわけて、「有界な単調数列は収束する」でもいいですが。

回答No.3

nanakin

特性方程式を用いて極限値を求める方法は、解答として
用いてはいけません。あくまでも”確認”の為だけです。
なぜなら、提示された漸化式が”収束”するかは宣言されていないからです。もちろん、極限値を求めるのだから収束するはずですが、それは言っても仕方ありません。

回答No.2

ryn

極限値を求めるだけなら No.1 さんのおっしゃるようなやり方や
参考URL の私の回答等もご覧になってください．

一般解を求めるには
　a[1] = 1/2
　a[2] = 2/5
　a[3] = 5/12
などとなることから，
　a[n] = b[n-1]/b[n]
　b[0] = 1 , b[1] = 2
とおきます．

すると，
　a[n+1]
　　= 1/(2+a[n])
　　= 1/(2+b[n-1]/b[n])
　　= b[n]/(2b[n]+b[n+1])
となるので，分母に着目すると
　b[n+1] = 2b[n] + b[n-1]
という３項間漸化式を得ます．

これを解くと
　b[n] = (1/2√2)*{(1+√2)^(n+1) - (1-√2)^(n+1)}
となるので
　a[n] = {(1+√2)^n - (1-√2)^n} / {(1+√2)^(n+1) - (1-√2)^(n+1)}
です．

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1214428