階差数列型漸化式

質問

階差数列型の
a(n＋1)-a(n)=b(n)のとき
n≧2でa(n)=a(1)＋Σ(n-1,k=1)b(k)
の式を証明する途中式です。
言葉が足りなくてすいません。
a(n＋1)-a(n)=b(n)のとき
n=1のときa(2)-a(1)=b(1)
n=2のときa(3)-a(2)=b(2)
n=3のときa(4)-a(3)=b(3)
……………………………………
n=１－１のときa(ｎ)-a(n-1)=b(n-1)
n=2
n=3
と増えてきているのに
最後の項はn=n-1となってしまうのですか？ｎ=n＋1のような気がするのですが。

回答No.3

mixchann

>階差数列型の
>a(n＋1)-a(n)=b(n)のとき
とありますが、階差数列の定義は、次のようにも言い換えられます。
a(n)-a(n－１)=b(n－１)　ただし ｎ＝2,3,4.… 　　　(＊)
　つまるところ、a(n)＝……の式を導こうとしているのですから、実質、言い換えである(＊)を使っているのではないですか。だから、（＊）に順次、代入して、
n=2のときa(2)-a(1)=b(1)
n=3のときa(3)-a(2)=b(2)
n=4のときa(4)-a(3)=b(3)
……………………………………
n=ｎのときa(ｎ)-a(n-1)=b(n-1)
というふうになり、なんら矛盾は生じません。質問者の錯覚(？)が生じた原因は、(＊)に気づいていないからでは、と思うのですが。

回答No.2

noname#8027

n=1のときa(2)-a(1)=b(1)
n=2のときa(3)-a(2)=b(2)
n=3のときa(4)-a(3)=b(3)
・
・
・
n-1のときa(n)-a(n-1)=b(n-1)
ｎ のときa(n+1)-a(n)=b(n)
n+1のときa(n+2)-a(n+1)=b(n+1)

a(n)を残したいとき、どこまで足しますか？

回答No.1

tarame

＞a(n＋1)-a(n)=b(n)のとき
のところを、「a(k＋1)-a(k)=b(k)のとき」と変えます。

k=1　のとき　a(2)-a(1)=b(1)
k=2　のとき　a(3)-a(2)=b(2)
k=3　のとき　a(4)-a(3)=b(3)
　：　　　　　　：
　：　　　　　　：　　　　　
k=n-1のとき　a(n)-a(n-1)=b(n-1)
これらの式を全部加えると
左辺＝a(n)-a(1)
右辺＝Σ[k=1,n-1]b(k)　となりますよ。

最後の式を「k=n+1のとき」にすると
k=n+1のとき　a(n+2)-a(n+1)=b(n+1)になりませんか？

与えられた漸化式をｎの式でなく、ｋの式に置き換えたほうが、分り易いですよね。