対数の広義積分について

質問

∫logXΔX(区間　1、∞)

の問題で回答では∞に発散となっていたのですが、

私が部分積分法を使って求めても発散する形には

なりません、どなたかお分かりの方お願いします.

回答No.3

sat000 · ベストアンサー

∫logXΔXは∫logx dxと読み替えて良いのでしょうか？
もしそうであれば、積分した結果は、(x*logx)-xですよね。
それであなたはきっとx*logxとxのそれぞれに∞を代入して、∞-∞は0ではないのか、などと思ったりしましたか？
実は無限大にも大小があります。
発散する速さと言っても良いかもしれませんが。
x*logx-xをx*(logx-1)と書き直してみると分かりやすいでしょう。
x→∞にすると、logx-1→∞になりますね。
従ってx*(logx-1)→∞*∞で∞になります (もちろん∞^2などとは書きません)。
直感的に分かりやすく考えるには、logxのグラフのx≧1の領域を思い出してください。
この部分の面積はxが増えるに従って単調に増加しますね。
従ってxが∞になると面積も∞になり、発散します。
参考になれば。

お礼

指摘されたとおりのことを考えていました。回答ありがとうございます。

回答No.2

qntmphscs

logxの不定積分はCを積分定数として

∫logxdx=x*logx-x+C　　(1)
　　　　=x*(logx-1)+C　(2)

です。(1)式の状態で考えていませんか？

回答No.1

elmclose

書かれている式は、関数 log x の区間[1,∞]での定積分という意味でしょうか。

であれば、∞に発散しますが。