面積素の変数変換て近似？

質問

二重積分の面積素 ds = dxdy　を極座標に変換した時 ds = rdrdθ　となるのは、一次の近似じゃないんですか？どんどん足していけばずれがでませんか？

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

r と r+dr の円に挟まれた部分で，中心角が dθなら，
その部分の面積は
(1)　　(dθ/2π) {π(r+dr)^2 - πr^2} = r dr dθ + (1/2) (dr)^2 dθ
となるではないか！
第２項を取り去ってしまってよいのか？
確かに微小量の高次だが，積分というのは足しあわせるのだから，
誤差が累積しないのか？

というような疑問ですよね．

同じような疑問はもっと簡単な１次元の積分でも現れます．
周知のように，y = f(x) のグラフと x 軸の間の面積を
(2)　　∫{a -> b} f(x) dx
で求めています．
微小幅 dx だから，高さ f(x)，幅 dx の長方形で近似して，
微小面積は f(x) dx で，これを加え合わせたというわけです．
でも，dx の間にも高さは f(x) から f(x+dx) に変わるではないか？
そこはいいのか？
例えば，f(x+dx) dx と近似する手もあるではないか．
(3)　　f(x+dx) dx ≒ f(x) dx + f'(x) (dx)^2
と考えられるが，(dx)^2 の項は知らん顔していいのか？

わかりやすく積分区間を等分に N 分割します．
したがって，幅の dx は 1/N のオーダー．
これを加え合わせるのですが，区間数は N ですから，
dx の１次の項からの寄与は (1/N)×N のオーダーで，
N→∞ としたときにゼロにもならず発散もしない結果をもたらします．
(偶然ゼロになることもあるが，それは N→∞ のせいではない)．
f(x) や f'(x) は分割数の N には関係がないことにも注意してください．
さて，(dx)^2 からの寄与は (1/N)^2 × N = 1/N のオーダーですから，
N→∞ で寄与は消えます．
こういうわけで，微小量の高次は気にしなくてよいのです．

ご質問の場合も，動径と角度をそれぞれ N 分割したと思えばよいでしょう．
dr も dθ も 1/N のオーダーですから，dr dθは (1/N)^2 のオーダー．
これを N×N = N^2 のメッシュ分加えるのですから，寄与は (1/N)^2 ×N^2 で
N→∞ としたときにゼロにもならず発散もしない結果をもたらします．
落としてしまった (dr)^2 dθの分は (1/N)^3 ×N^2 = 1/N のオーダーですから，
N→∞ で消えることになります．

上の話では f(x) などはおとなしい関数としています．

上ではわかりやすく「近似」と言う言葉を使いましたが，
面積要素として言うなら r dr dθ は近似ではないと私は考えます．
d を使うときに「微小量として主要な寄与を取り出す」
という意味が背後に含まれているのだと思います．
y=x^2 のときに dy/dx = 2x は近似式とは言いませんが，
同等の意味で r dr dθは近似ではないと思います．

近似というべきかどうか，数学の専門家のご意見を伺いたいところです．
私は物理屋なので...(^^;)
便乗ですが，どなたかご教示いただければ幸いです．

お礼

いやぁ、自分の疑問にドンピシャで答えてもらいました！超スッキリしました！ありがとうございました！m(__)m

回答No.2

mmky

参考程度に
極座標変換の場合は、
x=rsinθ
y=rcosθ
おのおのの全微分は、
dx=sinθ*dr+rcosθ*dθ --(1)
dy=cosθ*dr-rsinθ*dθ --(2)
(1),(2)から
cosθdx-sinθdy=rdθ --(3)
sinθdx+cosθdy=dr --(4)
(3)*(4)=rdrdθ
=(1/2)sin2θ[(dx)^2-(dy)^2]+cos2θdxdy
一方、(1)*(2)=dxdy
=sinθcosθ(dr)^2+r(cos^2θ-sin^2θ)drdθ
-r^2sinθcosθ(dθ)^2
=(1/2)sin2θ[(dr)^2-r^2(dθ)^2]+cos2θrdrdθ
そこで　(1)*(2)=(3)*(4) の条件は、dx=dr, dy=rdθ
だから、dxdy=rdrdθ でいいんですね。
当然ながら dx,dy とr, rdθが独立になる場合（極座標
変換できない図形あるいは関数など）は面積 dxdyとrdrdθは同じになりませんね。
そんな感じでしょうか。

補足

最後の(1)*(2)=(3)*(4)はsinとcosが残ってしまいますが、きれいにdxdy=rdrdθ の式にはもっていけないんでしょうか？

回答No.1

adinat

微分という意味では確かに線形近似という感じもしないでもないですが、dxdy=rdrdθは正しいですよ、心配せず使用してください。線形近似できないような関数というのは要するに接線が引けない、つまり微分ができないような関数で、この場合はずれがもちろんでます。だから普通座標変換に使う関数は微分可能性が必要です。ヤコビアンが計算できないとダメというわけです。

極座標変換は原点でsingularityがありますが、それ以外ではC^∞級の1:1の座標変換になってますので問題はないと思います。

補足

すみません、大学一年共通の微積しかやってないもので、線形近似やsingularityなどの理解がありません。ヤコビアンもあまり自信がありません。もう少しレベルを下げてもらえたら…