「極座標の長さ」 の近似について

質問

極座標における、線の長さの近似について質問があります。

ΔL=[[(f(θ)^2+{df(θ)/dθ}^2]^(1/2)]dθ

を積分して求めることができますが、

ΔL=rdθ

ではいけないのでしょうか？
どちらでもよいのでしょうか？
使い分ける必要性があるのか教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.1

felicior · ベストアンサー

＞　極座標における、線の長さの近似について質問があります。

r＝f(θ)という曲線の長さですね。

＞　ΔL=[[(f(θ)^2+{df(θ)/dθ}^2]^(1/2)]dθ
＞　を積分して求めることができますが、

こちらの式が一般式です。この式においてdf(θ)/dθ＝0とすると、

＞　ΔL=rdθ

になります。(絶対値がつきますが。)
df(θ)/dθ＝0が成り立つのはf(θ)＝一定のとき、つまり極を中心とする
円のときだけです。

ただ、Δとdは混合しない方が良いと思います。積分するのならdを使いますが、
積分すれば「近似」ではなく厳密に求まってしまうのが引っ掛かるところですが…
どういった近似計算なのでしょうか？

お礼

一般的な極座標における、線の長さを求める式の導出問題でした。

とてもわかりやすい説明で、納得できました。
ありがとうございました。

円でしか使えないんですね・・・。

今後ともよろしくお願いいたします。

補足

とてもよくわかりました。

ありがとうございました！