曲面積について

質問

x^2+y^2≦9に対応するz=√(9-y^2)の曲面積を求めよ。という問題なんですが、極座標で変換してやると積分の値が0になってしまいました。おそらく√の中をθの範囲の置換がいけなかったのだと思いますが、置換積分をする際の範囲についてはどのように解釈して積分すればいいのでしょうか？
不安だったので、質問させていただきました。お願いします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#1,#2,#3です。
たびたび失礼します。

#3での訂正（√内の符号）
正：S=12∫[0→π/2] [∫[0→3] r/√{9-r^2*(sinθ)^2} dr] dθ
=36∫[0→π/2] (1-cosθ)/(sinθ)^2 dθ
=36∫[0→π/2] 1/(1+cosθ) dθ=36

A#1の補足の質問の回答
>2∫[0->π]{∫[0->3] 3rdr/√(9-r^2sin^2θ)}dθ
>sinθ(0≦θ≦π)←ここが不安です。
積分範囲を上のSの式のようにした方がいいですな。
この段階ではあっていますが、後の計算で√が外れる段階で絶対値をはずす時にcosやtanの符号で場合わけが必要になります。場合わけして正しく計算しないと計算間違いの原因になります。
これを避ける意味でも、対称性を利用して、θの範囲を(0≦θ≦π/2)に絞っておいた方がいいですね。そうするとsinθ,cosθ,tanθいずれも正になって、√を開く時そのまま開けますので場合わけが不要になります。

>ここで分母の√の中身をtとして置換しました。このときに極座標にした意味がないかもしれませんが。
そう、意味が無いばかりか、新たに間違いを起こす原因を作っています。

>cosθ(-π/2≦θ≦π/2)←ここが不安です。
>としたので積分区間を[0->π/2]としました。
置換する際は変数間に1:1の対応関係になるように積分しないと間違いの原因になる。t=9-r^2sin^2θと置換することで起こった矛盾です。この置換はまずいですね。この段階で積分区間を半分にする根拠付けができません。tによる置換以前で積分区間を半分にしるのであれば結構。たとえ結果が合っていても、tの置換はやめた方がよい。

>やり方は間違っていないとおもうので、やはり変数変換でのミスだと思います。
tによる置換が原因となっていますね。一旦、tと置いたことで、元のθと1:1の関係が崩れてしまい、それを元のθに正しく戻せないことで起こる間違いです。置換しなければ起こらない間違いといえますね。

ポイント）
変数置換する場合は1:1の変数や座標点の対応関係が保たれるような置換をしないといけないということです。

お礼

遅れてすみませんでした。

どうも、ありがとうございました。

回答No.3

info22_

#1,#2です。

A#2はzの曲面と円筒内部 x^2+y^2≦9とxy平面で囲まれた立体の体積の計算でした。求める曲面の面積の極座標における[r,θ]の積分領域は同じになります。被積分関数が
4√{1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2}=12r/√{9+r^2*(sinθ)^2}に
変わるだけです。
S=12∫[0→π/2] [∫[0→3] r/√{9+r^2*(sinθ)^2} dr] dθ

積分のやり方はA#2に習ってやってみて下さい。

補足

やったらできました。最初に4倍しておかなければならないんでしょうか？

僕の↓にある答えは合っているのかも聞いておきたいです。お願いします。

回答No.2

info22_

対称性から積分領域をD={(r,θ)|0≦r≦3,0≦θ≦π/2}として、体積はこの4倍で求めれば良いでしょう。

V=4∫[0→π/2] [∫[0→3]√{9-r^2*(sinθ)^2}rdr] dθ
=4∫[0→π/2] ([{9-r^2*(sinθ)^2}^(3/2)/{-3*(sinθ)^2][0→3]) dθ
=36∫[0→π/2] {1-(cosθ)^3}/(sinθ)^2 dθ
=36∫[0→π/2] {1+cosθ+(cosθ)^2}/(1+cosθ) dθ
=36∫[0→π/2] {1+cosθ-(cosθ/(1+cosθ))} dθ
途中の計算はやってみて下さい。
=72

補足

体積ではなく曲面積になります。

回答No.1

info22_

>極座標で変換してやると積分の値が0になってしまいました。おそらく√の中をθの範囲の置換がいけなかったのだと思いますが、置換積分をする際の範囲についてはどのように解釈して積分すればいいのでしょうか？

計算の間違った箇所をチェックしますのでやった計算過程を補足にお書きください。

補足

まず、極座標に変換すると
2∫[0->π]{∫[0->3] 3rdr/√(9-r^2sin^2θ)}dθ
sinθ(0≦θ≦π)←ここが不安です。
ここで分母の√の中身をtとして置換しました。このときに極座標にした意味がないかもしれませんが。
そうすると
=2*2*3∫[0->π/2]{(1/sin^2θ)∫[9->9cos^2θ] -dt/√(t)}dθ
cosθ(-π/2≦θ≦π/2)←ここが不安です。
としたので積分区間を[0->π/2]としました。
=2*2*3∫[0->π/2]{(1/sin^2θ)*(3-3cosθ)}dθ
=36∫[0->π/2]{1/(1+cosθ)}dθ
=36{tanθ/2|θ=π/2-tanθ/2|θ=0}=36
0になったというのは最後のところで
tanθ/2|θ=2π-tanθ/2|θ=0としたからです。これもなぜこのようになったかわかりません。
これなら最初から対称性を使え、という解き方ですが、やり方は間違っていないとおもうので、やはり変数変換でのミスだと思います。
あいまいなところがかなりあると思います。