点と直線の距離で・・・

質問

３点Ｏ(0.0)、Ａ(x1,y1)、Ｂ(x2,y2)を頂点とする△ABCの面積Ｓをx1,x2,y1,y2を用いて表すという問題があります。
OA,OB,ABの三点間の距離を出すところからどの様にしたらいいのか分かりません。
途中の過程を教えてください。
２通り程やり方があるらしいので色々な答えお願いします。

回答No.1

springside · ベストアンサー

この問題は、
　(1)ベクトルを使う
　(2)三角関数の公式を使う
の２通りあるでしょう。
（途中までは同じですが）

(1)ベクトル
以下、面倒なので、「ベクトルOA」を「べOA」と書きます。
∠AOB=θとおくと、
△ABC=(1/2)OA・OB・sinθ
=(1/2)OA・OB・√(1-cos^2θ)　（∵sinθ≧0）　※１

ここで、cosθ=べOA・べOB／|べOA|・|べOB|
なので、それぞれをx1,x2,y1,y2を用いて成分表示して※１に代入すればＯＫ

(2)三角関数の公式
∠AOB=θとおくと、
△ABC=(1/2)OA・OB・sinθ
=(1/2)OA・OB・√(1-cos^2θ)　（∵sinθ≧0）　※２

ここで、余弦定理により、
cosθ=(OA^2+OB^2-AB^2)/2OA・OB
なので、OA、OB、ABをx1,x2,y1,y2を用いて表して※２に代入すればＯＫ

お礼

ありがとうございました！！よく分かりました！！

回答No.2

char2nd

このサイトの規定で、答えそのものを記述するのは御法度なので、とりあえずヒントだけ。

　２点間の距離は、その２点を結ぶ線分を斜辺とする直角三角形を想定すれば、自ずと解くことが出来ます。
　２点をそれぞれＸ(a1、b1）、Ｙ(a2、b2)、ＸＹの距離をＬとすると、ｘ軸に投影したときのＸＹの長さは｜a1－a2｜、ｙ軸に対しては｜b1－b2｜となります。
　従って三平方の定理より、

　Ｌ^2＝(a1－a2)^2＋(b1－b2)＾2

となります。この考え方より、ＯＡ、ＯＢ、ＡＢの長さは求められるでしょう。

　３辺の長さが既知である場合の三角形の面積は、ヘロンの公式より求められます。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

お礼

このサイトの規定で、答えそのものを記述するのは御法度なんですね。
すいませんでした！
ありがとうございました！！