１．
x - 4y + 5 = 0 …(a)
2x + y + 1 = 0 …(b)
(b)より
y = -2x - 1 …(b)'
(b)'を(a)に代入して
x - 4(-2x - 1) + 5 = 0
x = 1 …(c)
(c)を(b)'に代入して
y = -2 - 1 = -3
よって交点は(1, -3)。
直線 3x - 2y + 5 = 0 をyについて解くと
y = 3x/2 + 5/2
よってこれに垂直な直線は
y = -2x/3 + a …(d)
この直線が交点(1, -3)を通るためには、(d)に x = 1, y = -3 を代入して
-3 = -2/3 + a
a = -7/3
よって求める直線は(d)より
y = -2x/3 - 7/3
または両辺を３倍して移項して
2x + 3y + 7 = 0
２．
一般に２直線
ax + by = e …(a)
cx + dy = f …(b)
があった時、この２直線が直交する条件を考えます。
(i)b≠0, d≠0のとき
２直線(a),(b)は次のように書きかえられます。
y = -ax/b + e/b …(a)'
y = -cx/d + f/d …(b)'
この２直線が直交するためには傾きの積が-1であれば良いので
(-a/b)(-c/d) = -1
ac + bd = 0 …(c)
これが(i)の場合の、２直線(a),(b)が直交する条件となります。
(ii)b=0のとき
(a)より
ax = e
a=0だとe=0となって0=0となり直線で無くなるのでa≠0、よって
x = e/a
これはx=(一定)、すなわちy軸に平行な直線を表すので、
直線(a),(b)が直交するためには直線(b)がx軸に平行であれば良い。すなわち
c = 0
となればよい。
b = c = 0 は(c)をみたすので、(i),(ii)の場合分けに関係無く、直線(a),(b)が直交する条件は
ac + bd = 0 …(c)
であることである。
これを使うと２直線
(a + 2)x + (a + 3)y = 10
6x + (2a - 1)y = 5
が直交するための条件は
6(a + 2) + (a + 3)(2a - 1) = 0
となる事である。これを解いて行くと
6(a + 2) + (a + 3)(2a - 1) = 2a^2 + 11a + 9
= (a + 1)(2a + 9) = 0
よって求めるaの条件は
a = -1, -9/2
３．
２点(a, b), (c, d)を通る直線の式は
(d - b)(x - a) = (c - a)(y - b)
であらわされます。（実際に(x, y)に(a, b), (c, d)を代入すると成り立つ事が分かります。）
よって２点(1, 0), (-1, 1)を通る直線の式は
x - 1 = -2y
x + 2y - 1 = 0
これが(a, -1)を通るためには x = a, y = -1 を代入して
a + 2(-1) -1 = 0
これを整理して求めるaの値は
a = -1
４．
直線 ax + by + c = 0 と点(x0, y0) との距離dは
d = |ax0 + by0 + c| / √(a^2 + b^2)
です（公式）。
それは置いておいてまず、直線
y = 2x
あるいは書きなおすと
2x - y = 0 …(a)
に垂直で点(2, 1)を通る直線を求めましょう。傾きが-1/2で点(2, 1)を通るので
y - 1 = -(x - 2)/2
x + 2y - 4 = 0 … (b)
こうすると、求める点は直線(b)上にあり、直線(a)との距離が点(2, 1)のそれと同じ点という事になります。
直線(a)と点(2, 1)との距離dは上の公式より
d = |2*2 - 1*1| / √(2*2 + (-1)*(-1)) = 3 / √5
求める点の座標を(x0, y0)とするとこの点と直線(a)との距離は
|2x0 - y0| / √(2*2 + (-1)*(-1)) = d = 3 / √5
|2x0 - y0| = 3 …(c)
点(x0, y0)は直線(b)上の点だから
x0 + 2y0 - 4 = 0 …(d)
2x0 - y0 ≧ 0とすると
(c)は
2x0 - y0 = 3 …(c)'
これと式(d)との連立１次方程式を解くと、(x0, y0) = (2, 1)となり、これは求めるものではない。
よって2x0 - y0 < 0 このとき(c)は
2x0 - y0 = -3 …(c)''
これと(d)との連立１時方程式を解いて求める点は
(-2/5, 11/5)
５．
前問の公式より
| -10 | / √(3^2 + 4^2) = 10/5 = 2
よって求める距離は２
こんな感じで。
計算ミスあったらごめんなさい。
